柯西奇異積分方程:柯西奇異積分方程（Cauehy singular in -百科知識中文網

定義

柯西奇異積分方程是一類最基本且具有廣泛實際套用的奇異積分方程。

下面的一類積分方程

稱為 柯西奇異積分方程。其中為複平面上一光滑的閉合曲線，和是給定在上滿足赫爾德條件的函式，而積分是柯西主值意義下的。

分類

柯西奇異積分方程的研究已有很長的歷史，差不多在建立弗雷德霍姆理論的同時，即已出現在希爾伯特和龐加萊等人的工作中，以後經過許多數學家的努力，這一類方程的理論已發展得相當完善。它在彈性理論、空氣動力學、水力學、量子場論以及數學物理等方面有著廣泛的套用。若記

則柯西奇異積分方程（1）可寫成

若，則方程（2）中不出現奇異積分，因而方程（2）就是 具有弱奇異性核的弗雷德霍姆型積分方程；當時，則稱方程（2）為 完整的奇異積分方程。如果，則稱（2）為 齊次的奇異積分方程；否則稱之為 非齊次的奇異積分方程。

特徵方程與相聯方程

積分方程

稱為奇異積分方程（2）的 特徵方程。

把奇異積分方程（1）中的核的變數和的位置互換，所得到的新的奇異積分方程

稱為積分方程（2）的 轉置（或相聯）方程，而特徵方程（3）的相聯方程為

註：當積分方程（3）中的係數滿足條件

時，則稱數

為 特徵方程（3）的 指標。

性質

柯西奇異積分方程與弗雷德霍姆積分方程之間有著本質的不同。

對 弗雷德霍姆積分方程而言，如果齊次方程有異於零的解，則非齊次方程一般來說無解；而當齊次方程無異於零的解時，則非齊次方程對任意自由項總解。但對 柯西奇異積分方程而言情況就不一樣，如果齊次方程有異於零的解，則非齊次方程對任意的自由項也是可解的；而當齊次方程只有零解時，非齊次方程一般來說是無解的。此外，柯西奇異積分方程的係數可以為零，只要滿足條件（6）就可以求其解；但對弗雷德霍姆方程來說，如果積分號外不出現未知函式（即為第一種積分方程），一般地，它是不適定的。