杜哈梅積分

在振動理論中，杜哈梅積分（Duhamel's integral）是求解線性系統在任意外載激勵下回響的一種方法。

概要介紹

問題背景

受隨時間變化的外載 p( t)和粘性阻尼作用下的線性單自由度（SDF ）系統的運動方程是一個二階常微分方程，可寫為

杜哈梅積分

其中m為等效振子的質量，x代表系統振幅，t代表時間，c是粘性阻尼係數，k是系統剛度。

杜哈梅積分

若初始靜止於平衡位置的系統在t=0時刻受到一個單位衝擊載荷作用，即p(t)是一個狄拉克δ函式δ(t)，，可以解得系統回響（稱為單位脈衝回響函式）為

杜哈梅積分

杜哈梅積分

杜哈梅積分

杜哈梅積分

杜哈梅積分

其中稱為系統的阻尼比，是系統在無阻尼狀態下振動的固有圓頻率，是系統在當前存在的阻尼c作用下的實際振動圓頻率。推廣到任意時刻τ時受到衝擊載荷作用的脈衝回響為

杜哈梅積分

杜哈梅積分

，

結論導出

將任意載荷p(t)視為一系列脈衝激勵的迭加 ：

杜哈梅積分

那么根據線性性質可知，系統的回響同樣可以表示成對這一系列脈衝激勵的回響函式的迭加：

杜哈梅積分

杜哈梅積分

在時，連續求和轉化為積分，此時上面的等式是嚴格成立的

杜哈梅積分

將h(t-τ)的表達式代入即得杜哈梅積分的一般形式：

杜哈梅積分