簡介
本質自伴運算元具有自伴擴張的對稱運算元。
對稱運算元A為本質自伴的充分條件有（其中條件1也是必要的）：
1、n=n，其中(n=n)為A的虧指數；
2、A是半有界的，即存在實數r使對一切x∈(A)都有(Ax,x)≥r||x|| 。
本質自伴運算元3、A是實運算元，即存在H到H的反線性映射J（即滿足(Jx,Jy)=(y,x),J =I,JA=AJ）。
對稱運算元
本質自伴運算元
本質自伴運算元
本質自伴運算元設T是作用在希爾伯特空間H上的稠定運算元，如果對任意有。亦即，則稱T是對稱運算元。
本質自伴運算元
本質自伴運算元每個對稱運算元都有閉的對稱擴張。如果對稱運算元T沒有真的對稱擴張，即若且S是對稱運算元一定有成立時，則稱T是極大對稱的（maximally symmetric ）。
在一定條件下，對稱運算元與等距運算元可通過凱萊變換相互轉化。
虧指數
虧指數是與對稱運算元有關的數對。
設A是復希爾伯特空間H中的對稱運算元，(A+iI) 和(A-iI) 稱為A的虧子空間，記n=dim(A+iI) ，n=dim(A-iI) （這裡空間的維數指該空間中完備規範正交系的勢），稱數對(n,n)為A的虧指數。
A自伴的充分必要條件是n=n=0。
對稱運算元A具有自伴擴張的充分必要條件是n=n。
