朗斯基行列式

朗斯基行列式

在數學中,朗斯基行列式(Wronskian)名自波蘭數學家約瑟夫·侯恩·朗斯基,是用於計算微分方程的解空間的函式。

定義

對於給定的 n個 n-1次連續可微函式, f、...、 f,它們的朗斯基行列式 W(f, ..., f)為:

朗斯基行列式 朗斯基行列式

行列式的第 i行是 f、...、 f各函式的 i-1次導數。組成這個行列式的 n階方陣也稱作這 n個函式的 基本矩陣

在解線性微分方程時,朗斯基行列式可以用阿貝爾恆等式來計算。

與線性無關解

朗斯基行列式可以用來確定一組函式在給定區間上的線性相關性。

對於 n個 n-1次連續可微函式 f、...、 f,它們的朗斯基行列式 W(f, ..., f):

朗斯基行列式 朗斯基行列式

定理:

如果f1、...、fn 在一個區間[a,b] 上線性相關,則W(f1, ..., fn) 在區間[a, b] 上恆等於零。

也就是說,如果在某些點上 W(f, ..., f) 不等於零,則 f、...、 f 線性無關

注意,若 W(f, ..., f)在區間 [ a, b] 上恆等於零,函式組 不一定線性相關。

線性微分方程

描述

考慮 n階線性微分方程:

朗斯基行列式 朗斯基行列式
朗斯基行列式 朗斯基行列式

其中是區間 [ a, b] 上的連續函式。並考慮f(t)=0,即 n階齊次線性微分方程的情形:

朗斯基行列式 朗斯基行列式

對於一組給定的初始值:

朗斯基行列式 朗斯基行列式
朗斯基行列式 朗斯基行列式
朗斯基行列式 朗斯基行列式

方程 (1) 有唯一解。如果初始值不定的話,(2) 的任一解加上仍然是 (1) 的解。而對於 (2) ,任意 k個 (2) 的解的和仍然是 (2) 的解,因此 (2) 的解集構成一個線性空間,稱為 (2) 的 解空間

定理的證明

朗斯基行列式 朗斯基行列式

如果 f、...、 f在一個區間 [ a, b] 上線性相關,則存在不全為零的係數使得對區間 [ a, b] 上的任意 t,

朗斯基行列式 朗斯基行列式

因為“微分”是線性運算元,所以這個等式可以“延伸”到n-1階導數。故有以下方程組:

朗斯基行列式 朗斯基行列式
朗斯基行列式 朗斯基行列式

將看作變數,則上式變為一個 n元齊次線性方程組,由於這個方程有非零解,係數矩陣的行列式 W(f, ..., f)= 0。

進一步可以證明, W(f, ..., f)要么在區間 [ a, b] 上恆等於零,要么處處不為零(沒有零根)。於是可以證明 (2) 有 n個線性無關的解,並且它們線性張成的空間就是 (2) 的解空間。所以, (2) 的解空間是一個 n維線性空間。 (2) 一組 n個線性無關的解稱作它的一個 基本解組

例子

1.考慮三個函式:1、 x和 x,在任意一個區間上,他們的朗斯基行列式是:

朗斯基行列式 朗斯基行列式

不等於零,因此,這三個函式在任一個區間上都是線性無關的。

2.考慮另三個函式:1、 x和2 x+3,在任意一個區間上,他們的朗斯基行列式是:

朗斯基行列式 朗斯基行列式

事實上三者線性相關。

3.上面已經提到,朗斯基行列式等於零的函式組不一定線性相關。下面是一個反例:考慮兩個函式, x和| x|,即 x的絕對值。計算兩者的朗斯基行列式

朗斯基行列式 朗斯基行列式

他們的朗斯基行列式恆等於零,但兩者顯然線性無關。

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