基本介紹
最佳一致逼近問題
最佳逼近廣義多項式
最佳逼近廣義多項式
最佳逼近廣義多項式在次數不超過n的多項式集合 中求 ，使它與 的誤差
最佳逼近廣義多項式
最佳逼近廣義多項式這就是 最佳一致逼近問題。
最佳一致逼近多項式
最佳逼近廣義多項式
最佳逼近廣義多項式給定 ，若存在 ，使
最佳逼近廣義多項式
最佳逼近廣義多項式
最佳逼近廣義多項式
最佳逼近廣義多項式
最佳逼近廣義多項式
最佳逼近廣義多項式則稱 是 在[a，b]上的 最佳一致逼近(minimaxapproximation)多項式， 稱為 最佳偏差(minimax error)，它等於最小偏差值 。
最佳逼近廣義多項式 最佳逼近廣義多項式 最佳逼近廣義多項式
最佳逼近廣義多項式
最佳逼近廣義多項式
最佳逼近廣義多項式
最佳逼近廣義多項式
最佳逼近廣義多項式 最佳逼近廣義多項式
最佳逼近廣義多項式理論上已證明，對任何 ，都存在惟一的 ，使式(1)成立，實際上在集合 中每一元素, 都對應一個偏差 ，由於 ，故集合 有下界，從而有下確界 。如果存在 使 就是所要求的最佳一致逼近多項式。切比雪夫(Chebyshev)對最佳一致逼近多項式的特性，給出了下面的重要定理。
切比雪夫定理
最佳逼近廣義多項式 最佳逼近廣義多項式
最佳逼近廣義多項式
最佳逼近廣義多項式設 是 在[a，b]上的最佳一致逼近多項式的充分必要條件是， 在[a，b]上至少有 個點
最佳逼近廣義多項式使
最佳逼近廣義多項式 最佳逼近廣義多項式 最佳逼近廣義多項式
最佳逼近廣義多項式這個定理表明，最佳一致逼近多項式 的特性，即 逼近 的誤差分布是均勻的，如圖1所示。
圖1最佳(一致)逼近廣義多項式
最佳逼近廣義多項式
最佳逼近廣義多項式
最佳逼近廣義多項式若在空間 中取子集 ，若存在 使
最佳逼近廣義多項式
最佳逼近廣義多項式 最佳逼近廣義多項式 最佳逼近廣義多項式
最佳逼近廣義多項式 最佳逼近廣義多項式
最佳逼近廣義多項式則稱 為 的 最佳(一致)逼近廣義多項式，對於代數多項式集合 的元素 ，在[a，b]上最多只能有n個不同的零點，根據切比雪夫定理知最佳一致逼近多項式 有n+2個輪流為“+”、“-”的偏差點，對廣義多項式 也要求在[a，b]上至多具有n個不同的零點，因此要對廣義多項式引進更廣泛的哈爾(Haar)條件 。
哈爾條件
最佳逼近廣義多項式
最佳逼近廣義多項式函式 線性無關，若子集 中任一不恆為零的廣義多項式，即
最佳逼近廣義多項式
最佳逼近廣義多項式
最佳逼近廣義多項式在區間[a，b]上至多具有n個不同的零點，則稱函式 在[a，b]上滿足哈爾條件，也可稱子集 滿足哈爾條件。
最佳逼近廣義多項式顯然，子集 是滿足哈爾條件的。
充要條件
有了上述哈爾條件的定義，就可類似定理切比雪夫定理得到下面定理。
最佳逼近廣義多項式 最佳逼近廣義多項式定理若子集 滿足Haar條件則對任意給定的函式 ，使廣義多項式
最佳逼近廣義多項式 最佳逼近廣義多項式 最佳逼近廣義多項式成為函式 在空間C[a，b]上的 最佳(一致)逼近廣義多項式的充分必要條件是 在[a，b]上至少存在n+2個輪流為“+”、“一”的偏差點，即
最佳逼近廣義多項式
最佳逼近廣義多項式
最佳逼近廣義多項式利用以上定理還可證明當子集 滿足Haar條件時，則對任給的函式 的最佳逼近廣義多項式是惟一的。
唯一性定理
Haar還提出了下面的最佳逼近廣義多項式的惟一性定理。
最佳逼近廣義多項式 最佳逼近廣義多項式 最佳逼近廣義多項式定理 對任何函式 ，子集 中存在惟一的最佳逼近廣義多項式的充分必要條件是子集 滿足Haar條件 。
