導數
如一輛汽車在10小時內走了 600千米，它的平均速度是60千米/小時，但在實際行駛過程中，是有快慢變化的，不都是60千米/小時。為了較好地反映汽車在行駛過程中的快慢變化情況，可以縮短時間間隔，設汽車所在位置s與時間t的關係為s=f（t），那么汽車在由時刻t0變到t1這段時間內的平均速度是[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0]，當 t1與t0很接近時，汽車行駛的快慢變化就不會很大，平均速度就能較好地反映汽車在t0 到 t1這段時間內的運動變化情況 ，自然就把極限[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0] 作為汽車在時刻t0的瞬時速度，這就是通常所說的速度。一般地，假設一元函式 y=f(x )在 x0點的附近(x0－a ，x0 +a)內有定義，當自變數的增量Δx= x－x0→0時函式增量 Δy=f（x）－ f（x0）與自變數增量之比的極限存在且有限，就說函式f在x0點可導，稱之為f在x0點的導數（或變化率)。若函式f在區間I 的每一點都可導，便得到一個以I為定義域的新函式，記作 f'，稱之為f的導函式，簡稱為導數。函式y=f（x）在x0點的導數f'（x0）的幾何意義：表示曲線l 在P0[x0，f（x0）] 點的切線斜率。一般地，我們得出用函式的導數來判斷函式的增減性的法則：設y=f(x )在（a，b）內可導。如果在（a，b）內，f'（x）>0,則f（x）在這個區間是單調增加的。。如果在（a，b）內，f'（x）<0,則f（x）在這個區間是單調減小的。所以，當f'（x）=0時，y=f(x )有極大值或極小值，極大值中最大者是最大值，極小值中最小者是最小值。
導數的幾何意義是該函式曲線在這一點上的切線斜率。
曲線斜率
導數即表示函式在某一點的切線的斜率。例如f'(x)=x^2，在x=4時，f'(x)=16，在x=0時，f'(x)=0，所以在x=0時，f(x)=x^2的切線可看作與x軸平行。
研究某一函式的導數很重要，因為它的幾何意義是該函式曲線在這一點上的切線斜率，而斜率直接關係到在某一個區間函式的增減性。
當對於任意x∈（a，b)都有f'(x)>0時，函式f(x)在（a，b）是增函式。
而當對於任意x∈（a，b)都有f'(x)<0時，函式f(x)在（a，b）是減函式。
