內容簡介
這部叢書是一部優秀的數學教育研究論著，全書包括《數學基礎知識基本技能教學研究探索》、《數學中的問題探究》、《數學新題型研究》、《孺慕樂儀多元智慧型開發與評價的實驗研究》、《數學教育研究與寫作析評》五個分冊，本冊是其中的數學中的問題探究分冊，作者選取了一個獨到的研究角度進行詳細論述，並提出了一些獨到的教育理念。本書適合數學教育工作者參考學習。
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前言
20世紀90年代以來我們正面臨一場國際範圍內的課程改革運動。對於數學教師來說，怎樣使數學課程富有更大的啟發性，怎樣引導學生獲得獨立處理數學問題的能力，這是戢們所關心的一個中心問題。
本書將從大量的實例出發，探討中學數學中探究性問題的含義、問題探究的主要途徑以及問題探究對數學教學的重要作用。法國數學家J．Dieudonne曾經說過，任何水平的數學教學的最終目的，無疑是使學生對他所要處理的數學有一個可靠的直覺。傳統的數學教學從內容到方法都更多地把著眼點放在知識的傳授上，雖然大量數學教育的理論研究都肯定了教學目標應該著重在學生思維能力特別是創造性思維能力的培養上，但通過什麼樣的實際可操作的途徑才能達到這一目標呢?
最近已經通過的《義務教育階段國家數學課程標準》和正在研製過程中的《國家高中數學課程標準》，都肯定了數學中的問題探究是發展學生自身創新能力的重要途徑。通過探究式教學引導學生真正地學會從觀察和分析事實出發，尋求解決問題的方法，體驗創造性工作的真實過程，領會歸納式的科學研究方法，使數學課程在學生素質教育中發揮更大的作用。
本書內容包括理論探討和數學探究的實際課題兩個方面。
第1章對數學中探究性問題的含義作了簡單的界定，探究性問題與通常的課本習題之間雖然沒有明確的界限，但我們仍然可以從探究性問題的五個重要特點看到，探究性問題在整個數學結構中的意義和價值。
在第2章與第3章中，我們為讀者提供了20個探究性課題，並且按照作者自己的興趣和觀點對問題作了初步的研究和探討，分析了這些問題進一步發展的各種可能性，為實際的教學提供參考。這些問題大多是作者在自己的教學和研究過程中積累和選編而成的。其中有些問題雖然參考了有關的文獻，但都不是照搬別人的例題，基本上每個探究性問題中都包含了作者自己的獨立思考和研究，因此都具有一定的自身特點。對問題的選擇大體遵循以下原則：
(1)問題涉及的知識面限於中學階段。
(2)兼顧教學的趣味性與理論性。
(3)所有的探究即使最終可能牽涉比較深奧的現代數學分支，但一定考慮到是否可能做到“高理論，低表達”，使得中學生能夠接受。
(4)問題本身不完全孤立，要與現代數學之間存在一定的關聯，使探究具有實在的價值。
第4、5章是本書的理論探討部分。這兩章要探討的問題是：怎樣進行數學探究。這本來是一個難以簡單回答的問題，但作為數學教育工作者我們不得不面對這個重要的問題。我們提出了“思想實驗”的理論，並用許多典型的數學實例來分析和論證思想實驗發生的真實過程。我們力圖使數學探究過程成為一個可以加以研究和分析的實實在在的實驗過程，使“思想實驗”理論能夠轉化為一種可操作的教學過程。
第6章是在前五章的基礎上再探數學教育的理論問題。本章雖然篇幅很短，但我們突出地選擇了諸如建構主義、非形式化數學、知識的科學形態與教學形態、教學的非模式化研究等當前受到數學教育界廣泛關注的典型問題，鮮明地表達了作者的觀點和論據，希望通過自己的研究表達下面的論點：從數學出發研究數學教育。
本書僅僅是在所研究的問題方面拋磚引玉，誠望獲得辛勤耕耘在數學教育事業上的同行的批評指正。
本書可供中學教師、師範院校學生、數學教育方向的研究生以及其他從事數學教育研究的工作者閱讀參考。
本書在撰寫過程中得到數學教育界許多專家的支持和鼓勵，特別是華東師範大學張奠宙教授始終熱情勉勵作者參與數學教育方面的研究工作，使作者有機會涉足這一領域的探討和研究，作者對此深表感謝。同時感謝華東師範大學出版社支持本書出版，還對陳信漪老師在本書編排過程中認真細緻的校核工作深表敬意。
圖書目錄
前 言
1．問題探究的含義
1．1 探究性問題的特點
1．2 問題探究在教學中的作用
2．探究10題
2．1 化矩形為方
2．2 藉助簡單作圖工具解作圖難題
2．3 方根差問題
2．4 關於整數的若干問題
2．5 一些有趣的算法
2．6 格點多邊形
2．7 最大內接多邊形
2．8 勾股定理的推廣
2．9 點分布問題
2．10 等距映射
3. 再探10題
3.1 問題
3．2解答與提示
4．思想實驗——數學探究的一個重要途徑
4．1 直覺
4．2 思想實驗
4．3 觀察幫助發現——九點圓定理
4．4 重要的是想像力——克萊因瓶
4．5 代數中的觀察——歐拉定理
5．擴充與反駁——再論數學探究的途徑
5．1 思想實驗是思想組合過程
5．2 擴展兩例
5．3 探究中的反駁
6．數學教育問題再探
6．1 目標和理論
6．2 建構主義與非形式化數學
6．3 從數學出發研究數學教育
6．4 教學的非模式化研究
參考文獻
人名索引
文摘
書摘
產生於2300年前古希臘時代的最光輝的科學著作歐幾里得《幾何原本》，其突出的特點就是把邏輯推理的前提歸結到數量儘可能少、意義極為明白的10條公理。雖然後來的研究表明《幾何原本》中的公理系統並不完善，但是這是人類第一次找到了形式演繹系統正確的表達方式，同時也使推理具有了精確的形式。
歐幾里得幾何公理系統使得任何幾何作圖最後必須被分解為下面兩種基本作圖的各種有限組合方式：
1)過兩點作一條直線。
2)以一個已知點為圓心，以這個已知點與另外一點間的線段長．為半徑作圓。
這種對作圖的限制等價於作圖允許使用兩種工具：不帶刻度的直尺與歐幾里得圓規。幾何書籍中把這兩種工具統稱為歐幾里得工具。注意到歐幾里得圓規是一種想像中的作圖工具，而不是我們實際使用的圓規。它們之間的最大的區別是：不能直接利用歐幾里得圓規把直線外的一條已知線段移到直線上。雖然如此，我們能夠證明利用歐幾里得工具(直尺和圓規)能夠把直線外一條已知線段移到直線上。也就是說：最終歐幾里得工具等價於不帶刻度的直尺與通常的圓規。這是“尺規作圖”的由來。
這是一類帶有普遍性的問題。我們選取其中比較簡單的一個來加以討論：求一個已知三角形中所能包含的面積最大的正方形。
解答這個問題的思路和方法極具典型性，徹底地解答這個問題分為兩個步驟：
第一步，首先通過幾何觀察，證明三角形內接正方形面積最大的必要條件是正方形的四個頂點都要位於三角形的邊上，也就是說正方形必有一條邊位於三角形的一條最短邊上而另兩個頂點分別位於三角形另兩條邊上。
第二步，通過代數計算求出正方形的邊長。
大多數數學套用問題的解法都包含上面這兩個基本步驟。
在陳述參考解答之前，通過直覺想像不難發現以下幾何事實：如果正方形在三角形內能夠作某種移動，則正方形尚未達到最大面積。這是我們解答問題的重要依據。
形式系統的元數學是結構主義的最突出的代表，希爾伯特創建的這個數學體系中一切通常的語言都化為極簡單的形式符號，任何數學命題成為形式符號的公式，所有的數學推理化為形式公式的有限序列。這種結構體系一旦建立，任何符號的微小變動都有可能使整個結構化為烏有。
因此按通常的推想，如此高級形態的結構主義數學恰好與認識論的建構主義觀點相配合。但是我們面臨下面的有趣現象：
結構主義形式也許僅僅是數學的存在形式，但是作為教育形態的數學，應以非形式化數學為主體。所謂非形式化數學就是與思維過程相關聯的數學，它以猜想與問題為出發點，在整個推理和擴展的過程中都存在被“反駁”的可能性，它以“多證多駁”的方式產生和發展。只要採用“發現法”的教學方式，所教的數學必然是非形式化的數學。
基於以上考慮，非形式化數學的教學過程以及學生的學習建構方式有以下特點：
(1)思維過程高度的複雜性。如果把思維成果看成時間的函式，那么這個函式應是一個極其複雜的遞歸方式決定的函式。也就是說思維的當前狀態並不僅僅是由前一個狀態決定，也不是前期各階段狀態的簡單的累加，而是當前狀態與前面每一個狀態都相關。
(2)思維是一個自相似的分形結構。證明一個數學定理的思維過程與證明過程中任何一小步的微觀過程基本上是一致的。巨觀狀態是多證多駁方式，歸納與演繹並行，微觀狀態也具有這種形式。
(3)因此我們不能想像建構知識的情形能夠像生命體的遺傳基因一樣可以機械地分拆成為沒有生命的分子結構。現在已經有很多科學家推測對思維的研究是不能採用“還原論”方法的。
套用於數學教學，作為理論基礎的建構主義應該比我們所能構想的情形複雜得多。因此適應非形式化數學的教學理論有待於作進一步探討。
(4)知識建構的最強大的動力來自思維的獨創性。創造力的個性差異是不容忽視的因素。
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