數值計算[指用計算機解決各種數據問題的方法]

數值計算指有效使用數字計算機求數學問題近似解的方法與過程，以及由相關理論構成的學科。數值計算主要研究如何利用計算機更好的解決各種數學問題，包括連續系統離散化和離散形方程的求解，並考慮誤差、收斂性和穩定性等問題。

研究領域

從數學類型來分，數值運算的研究領域包括數值逼近、數值微分和數值積分、數值代數、最最佳化方法、常微分方程數值解法、積分方程數值解法、偏微分方程數值解法、計算幾何、計算機率統計等。隨著計算機的廣泛套用和發展，許多計算領域的問題，如計算物理、計算力學、計算化學、計算經濟學等都可歸結為數值計算問題。

重要特徵

數值計算具有以下5個重要特徵：

1、數值計算的結果是離散的，並且一定有誤差，這是數值計算方法區別與解析法的主要特徵。

2、注重計算的穩定性。控制誤差的增長勢頭，保證計算過程穩定是數值計算方法的核心任務之一。

3、注重快捷的計算速度和高計算精度是數值計算的重要特徵。

4、注重構造性證明。

5、數值計算主要是運用有限逼近的的思想來進行誤差運算。

數值積分

數值積分求定積分的近似值的數值方法，即用被積函式的有限個抽樣值的離散或加權平均近似值代替定積分的值。求某函式的定積分時，在多數情況下，被積函式的原函式很難用初等函式表達出來， 因此能夠藉助微積分學的牛頓-萊布尼茲公式計算定積分的機會是不多的。另外，許多實際問題中的被積函式往往是列表函式或其他形式的非連續函式，對這類函式的定積分，也不能用不定積分方法求解。由於以上原因，數值積分的理論與方法一直是計算數學研究的基本課題。對微積分學作出傑出貢獻的數學大師，如I.牛頓、L.歐拉、C.F.高斯等人也在數值積分這個領域作出了各自的貢獻，並奠定了它的理論基礎。

構造數值積分

構造數值積分公式最通常的方法是用積分區間上的n 次插值多項式代替被積函式，由此導出的求積公式稱為插值型求積公式。 特別在節點分布等距的情形稱為牛頓-柯茨公式，例如梯形公式與拋物線公式就是最基本的近似公式。但它們的精度較差。龍貝格算法是在區間逐次分半過程中，對梯形公式的近似值進行加權平均獲得準確程度較高的積分近似值的一種方法，它具有公式簡練、計算結果準確、使用方便、穩定性好等優點，因此在等距情形宜採用龍貝格求積公式。當用不等距節點進行計算時，常用高斯型求積公式計算，它在節點數目相同情況下，準確程度較高，穩定性好，而且還可以計算無窮積分。數值積分還是微分方程數值解法的重要依據。許多重要公式都可以用數值積分方程導出。