內容簡介
本書是為理工科大學各專業普遍開設的“數值分析”課程編寫的教材。其內容包括插值與逼近,數值微分與數值積分,非線性方程與線性方程組的數值解法,矩陣的特徵值與特徵向量計算,常微分方程數值解法。每章附有習題並在書末給出了部分答案,每章還附有複習與思考題和計算實習題。全書闡述嚴謹,脈絡分明,深入淺出,便於教學。
本書也可作為理工科大學各專業研究生學位課程的教材,並可供從事科學計算的科技工作者參考。
圖書目錄
第1章 數值分析與科學計算引論
1.1 數值分析的對象、作用與特點
1.1.1 數學科學與數值分析
1.1.2 計算數學與科學計算
1.1.3 計算方法與計算機
1.1.4 數值問題與算法
1.2 數值計算的誤差
1.2.1 誤差來源與分類
1.2.2 誤差與有效數字
1.2.3 數值運算的誤差估計
1.3 誤差定性分析與避免誤差危害
1.3.1 算法的數值穩定性
1.3.2 病態問題與條件數
1.3.3 避免誤差危害
1.4 數值計算中算法設計的技術
1.4.1 多項式求值的秦九韶算法
1.4.2 疊代法與開方求值
1.4.3 以直代曲與化整為“零”
1.4.4 加權平均的鬆弛技術
1.5 數學軟體
評註
複習與思考題
習題
第2章 插值法
2.1 引言
2.1.1 插值問題的提出
2.1.2 多項式插值
2.2 拉格朗日插值
2.2.1 線性插值與拋物線插值
2.2.2 拉格朗日插值多項式
2.2.3 插值餘項與誤差估計
2.3 均差與牛頓插值多項式
2.3.1 插值多項式的逐次生成
2.3.2 均差及其性質
2.3.3 牛頓插值多項式
2.3.4 差分形式的牛頓插值公式
2.4 埃爾米特插值
2.4.1 重節點均差與泰勒插值
2.4.2 兩個典型的埃爾米特插值
2.5 分段低次插值
2.5.1 高次插值的病態性質
2.5.2 分段線性插值
2.5.3 分段三次埃爾米特插值
2.6 三次樣條插值
2.6.1 三次樣條函式
2.6.2 樣條插值函式的建立
2.6.3 誤差界與收斂性
評註
複習與思考題
習題
計算實習題
第3章 函式逼近與快速傅立葉變換
3.1 函式逼近的基本概念
3.1.1 函式逼近與函式空間
3.1.2 範數與賦范線性空間
3.1.3 內積與內積空間
3.1.4 最佳逼近
3.2 正交多項式
3.2.1 正交函式族與正交多項式
3.2.2 勒讓德多項式
3.2.3 切比雪夫多項式
3.2.4 切比雪夫多項式零點插值
3.2.5 其他常用的正交多項式
……
第4章 數值積分與數值微分
第5章 解線性方程組的直接方法
第6章 解線性方程組的疊代法
第7章 非線性方程與方程組的數值解法
第8章 矩陣特徵值計算
第9章 常微分方程初值問題數值解法
部分習題答案
參考文獻
文章節選
第1章 數值分析與科學計算引論
1.1 數值分析的對象、作用與特點
1.1.1 數學科學與數值分析
數學是科學之母，科學技術離不開數學，它通過建立數學模型與數學產生緊密聯繫，數學又以各種形式套用於科學技術各領域。數值分析也稱計算數學，是數學科學的一個分支，它研究用計算機求解各種數學問題的數值計算方法及其理論與軟體實現，用計算機求解科學技術問題通常經歷以下步驟：
①根據實際問題建立數學模型。
②由數學模型給出數值計算方法。
③根據計算方法編制算法程式（數學軟體）在計算機上算出結果。
第①步建立數學模型通常是套用數學的任務，而第②，③步就是計算數學的任務，也就是數值分析研究的對象，它涉及數學的各個分支，內容十分廣泛。作為“數值分析”課程，只介紹其中最基本、最常用的數值計算方法及其理論，它包括插值與數據逼近，數值微分與積分，線性方程組的數值求解，非線性方程與方程組求解，特徵值計算，常微分方程數值解等。它們都是以數學問題為研究對象，只是不像純數學那樣只研究數學本身的理論，而是把理論與計算緊密結合，著重研究數學問題的數值算法及其理論。與其他數學課程一樣，數值分析也是一門內容豐富，研究方法深刻，有自身理論體系的課程，既有純數學高度抽象性與嚴密科學性的特點，又有套用廣泛性與實際試驗高度技術性的特點，是一門與計算機使用密切結合，實用性很強的數學課程。
