基本介紹
整閉整環
整閉整環
整閉整環命題1令是環，在上整。
整閉整環
整閉整環
整閉整環i) 如果b是B的理想，，那么在上整。
整閉整環
整閉整環ii) 如果S是A的乘法封閉子集，那么在上整。
命題(1)的ii)可以加強為：
整閉整環
整閉整環 整閉整環 整閉整環命題2 令是環，C是A在B中的整閉包，令S是A的一個乘法封閉子集，那么是在中的整閉包。
整閉整環
整閉整環定義 一個整環叫作 整閉的(沒有限制條件)，如果它在它的分式域中是整閉的。例如，是整閉的，任何唯一因子分解整環都是整閉的，特別，域上的多項式環是整閉的 。
相關性質
整閉性是局部性質：
命題3 令A是一個整環，那么下列斷言是等價的：
i) A是整閉的；
整閉整環ii) 對每個素理想是整閉的；
整閉整環iii)對每個極大理想是整閉的。
整閉整環
整閉整環 整閉整環 整閉整環引理1 令C是A在B中的整閉包，表示在C中的擴理想，那么在B中的整閉包是的根(因此在加法和乘法之下是封閉的)。
整閉整環
整閉整環 整閉整環
整閉整環 整閉整環
整閉整環
整閉整環
整閉整環命題4 令是整環，A是整閉的，在A的理想上整，那么在A的分式域K上代數，而且如果在K上的極小多項式是，那么位於中。
整閉整環
整閉整環
整閉整環
整閉整環
整閉整環
整閉整環
整閉整環定理(“下降定理”)令是整環，A是整閉，B在A上整，令是A的素理想鏈，是B的素理想鏈，使得，那么鏈可以擴充為鏈，使得。
整閉整環
整閉整環命題5令A是一個整閉的整環，K是它的分式域，L是K的一個有限可分代數擴張，B是A在L中的整閉包，那么存在L在K上的基，使得。
Dedekind環
稱環A為Dedekind環是說A滿足下面的條件(1)一(3) 。
(1) A為Noether環；
(2) A為整閉整環；
(3) 除0以外的A的素理想(ideal)均為極大理想。
這裡我們來解釋一下所用術語的意思。A為Noether環是說A滿足下述條件(1)。
(1) A的任意理想均為有限生成。
這個條件與下述(2)一(4)中任一個均等價。
整閉整環
整閉整環(2) 設為A的理想的遞增序列，則存在N使得
整閉整環 整閉整環
整閉整環
整閉整環
整閉整環
整閉整環(3) 設為A的理想組成的非空集合，則存在屬於的滿足條件“如果且，則”．
(4) 有限生成A模的子模也是有限生成的。
稱A為 整環是說A為非零環，而且滿足條件
整閉整環
整閉整環
整閉整環
整閉整環對於，若則或或.
當A為環B的子環時，稱B的元x在A上整是說x滿足某個A係數方程
整閉整環
整閉整環
整閉整環(，為自然數)
整閉整環 整閉整環環B中所有在A上整的元全體{ |在A上整}構成了B的子環，稱之為A在B中的 整閉包。當A為整環時，A在A的分式域中的整閉包被簡單地稱為A的整閉包，當A與A的整閉包相同時，則說A為 整閉。
整閉整環 整閉整環稱環A的理想為 素理想是說，剩餘環為整環，這個條件等價於滿足下面的條件(1)，(2)。
整閉整環
整閉整環
整閉整環(1)若，則或或；
整閉整環(2)。
整閉整環 整閉整環稱A的理想為極大是說剩餘環為域，這個條件等價於滿足下面的條件(1)，(2)。
整閉整環 整閉整環(1)包含的A的理想只有A或是自己；
整閉整環(2)。
整閉整環極大理想是素理想，反過來不成立，例如的素理想0 。
