概念
半完全環是介於完全環與半局部環之間的一類環。設J(R)是環R的雅各布森根，若R/J (R)是半單環，且R/J (R)的冪等元可提升為R的冪等元，則稱R為半完全環。例如，左、右阿廷環、局部環都是半完全環。半完全環是左、右對稱的，從同調論的觀點看，R是半完全環意味著*R或R*是半完全模，即它們的任意同態像有投射包。半完全模和完全模是馬雷斯(E. A.Mares)在研究完全環的推廣時引進的。半完全環還有以下的等價刻畫：
1.任意有限生成R左(右)模有投射包。
2.任意單R左(右)模有投射包。
3.存在R的完全正交冪等元集{e，e，…，e}使得eRe是局部環。
環
環是對並與差運算封閉的集類，測度論中重要概念之一。設F是Ω上的一個非空集類。如果它對集的並及差運算封閉，即對任何A，B∈F，都有A∪B∈F，A\B∈F，則稱F為Ω上的環。例如，若F是由實直線R上任意有限個左開右閉的有限區間的並集：
半完全環的全體構成的集類，則F是R上的一個環。環也是對於交與對稱差運算封閉的集類，並按這兩種運算成為布爾環。要把R上的勒貝格測度和勒貝格-斯蒂爾傑斯測度以及相應的積分理論推廣到更一般的集合上，就需要做一系列奠基工作，其中之一是建立一些特殊的集類並研究其性質。環以及半環、σ環、代數、σ代數等重要集類正是為了這一目的而引入的。
完全環
完全環是一類具有同調性質的環。設R是環，若任意左R模有投射包，則稱R為左完全的。以下性質是等價的：
1.R是左完全環。
2.R/J(R)是半單的且J(R)是T冪零的。
3.任意平坦左R模是投射的。
4.R的任意右主理想鏈滿足極小條件。
完全環的概念是巴斯(H.Bass)於1960年研究模範疇的同調性質時引進的。上面的結果也就是著名的巴斯定理。
局部環
局部環和半局部環分別是完全準素環和半準素環概念的推廣。環R(≠0)中，若不可逆元(即非單位)集A對於加法是封閉的，則R稱為局部環.以下性質是等價的：
1.R是局部環。
2.R中不可逆元的集A是(雙邊)理想。
3.A是極大左(右)理想。
4.對於任意r∈R，r或1-r必是左(右)可逆元。
5.R的雅各布森根J(R)是極大左(右)理想。
6.R/J(R)是除環。
7.J(R)=A={x∈R|Rx≠R}(x稱為非生成子)。
若R/R(J)是半單的，則稱R是半局部的。局部環的概念對於模的分解性質十分重要。對於任意R模M，若M的自同態環End(M)是局部的，則M是不可分解的。反之，若M是不可分解且是內射的，則End(M)是局部環。東屋五郎(G.Azumaya)曾利用局部環的概念，把古典的克魯爾-銳瑪克-施密特定理推廣為項數可以是無窮的情形。局部環也具有特殊的同調性質。卡普蘭斯基(I.Kaplansky)於1958年證明：對於局部環R，任意R投射模是R自由的。
環論
環論是研究環的性質及其運算規律的代數分支學科。近代環論也包含了非結合代數。“環”是抽象代數研究中的基本對象之一。
環和理想的構造在19世紀已為人熟知，並套用在戴德金(R.Dedekind)和克勞尼克(L.Kronecker)等關於代數數的著作中。克勞 尼克(L.Kronecker)將環稱為“order”，希爾伯特(D.Hilbert)才引進了“ring (環)”這一詞。但是抽 象的理論是在20世紀發展起來的。至諾德愛米(N.Noether)將其置於系統化和公理化的基礎上。
環論和群的概念有密切關係， 設S是一個集合，它在加法之下 構成Abel群，在乘法運算之下是 半群，對加法滿足分配律，即對：
∀a， b， c∈S
a(b+c)=ab+ac
(a+b)c=ac+bc
在環中，對乘法而言
ab=0⇏a=0或b=0如果有a∈S， 存在b∈S，使ab=0 (ba=0)，則 說a是S中的一個左 (右) 零因 子。不含零因子的交換環稱為整 環。數域上的多項式環也是整環。 n階矩陣環則不是整環。
正如不變子群在群的研究中所 起作用一樣，理想的概念對環的研 究至關重要。對環S中的非空子集 A，如果A關於S中的兩種運算構 成環，則A是S的子環。進一步， 對S中的子環A， 如果∀∈S， a∈ A，有xa，ax∈A，則A稱為環S 的一個理想。顯然S中理想的交集 仍是S的理想，當A是環S的一個 理想時，由加法運算作出商群 S/A，此商群對乘法而言，易證其 為半群，從而S/A構成環，稱為 商環，或稱S關於A的剩餘類環。
環的同態和同構是研究環的重要工具。
設f是環A到環Ā的一個映 照， 如果對∀a·b∈A有f(a+b) =f(a)+f(b)，f(ab)=f(a)f(b)，則說f 是A到Ā的同態映照， 當f是滿射 時， 則說f是A到Ā的滿同態；而如果f是雙射， 則稱f是A和Ā的 同構映照， 並說A和Ā同構，記為A≃Ā。
設f是A到A的同態映照，o 是中零元素(加群的單位元)記kerf={x∈A|f(x)=0}稱為同態映照f之核，kerf關於加法構成群，關於乘法構成半群。 又∀x∈A， y ∈kerf，
f(xy)=f(x) f(y)=0
f(yx)=f(y) f(x)=0
∴xy，yx∈kerf，故kerf為A的一個理想。由此可得環的同態基本定理。
A是環，則A的任一商環都是A的同態象， 反之，如果Ā是 A在f之下的同態象，則有
A≃A/kerf
由環的概念，可引伸出代數的 概念，設S是一個環，如果作為加法群，它是域K上的向量空 間，域K上的數乘和S上的乘法可交換，即α∈K，a·b∈S，則 (αa)b=α(ab)，則S稱為一個代數，進一步可討論代數的表示理論。
環論在域論中起決定性作用，在泛函分析中也獲得廣泛套用。
