半完全環

半完全環是介於完全環與半局部環之間的一類環。設J(R)是環R的雅各布森根,若R/J (R)是半單環,且R/J (R)的冪等元可提升為R的冪等元,則稱R為半完全環。例如,左、右阿廷環、局部環都是半完全環。半完全環是左、右對稱的,從同調論的觀點看,R是半完全環意味著*R或R*是半完全模,即它們的任意同態像有投射包。

概念

半完全環是介於完全環與半局部環之間的一類環。設J(R)是環R的雅各布森根,若R/J (R)是半單環,且R/J (R)的冪等元可提升為R的冪等元,則稱R為半完全環。例如,左、右阿廷環、局部環都是半完全環。半完全環是左、右對稱的,從同調論的觀點看,R是半完全環意味著*R或R*是半完全模,即它們的任意同態像有投射包。半完全模和完全模是馬雷斯(E. A.Mares)在研究完全環的推廣時引進的。半完全環還有以下的等價刻畫:

1.任意有限生成R左(右)模有投射包。

2.任意單R左(右)模有投射包。

3.存在R的完全正交冪等元集{e,e,…,e}使得eRe是局部環。

環是對並與差運算封閉的集類,測度論中重要概念之一。設F是Ω上的一個非空集類。如果它對集的並及差運算封閉,即對任何A,B∈F,都有A∪B∈F,A\B∈F,則稱F為Ω上的環。例如,若F是由實直線R上任意有限個左開右閉的有限區間的並集:

半完全環 半完全環

的全體構成的集類,則F是R上的一個環。環也是對於交與對稱差運算封閉的集類,並按這兩種運算成為布爾環。要把R上的勒貝格測度和勒貝格-斯蒂爾傑斯測度以及相應的積分理論推廣到更一般的集合上,就需要做一系列奠基工作,其中之一是建立一些特殊的集類並研究其性質。環以及半環、σ環、代數、σ代數等重要集類正是為了這一目的而引入的。

完全環

完全環是一類具有同調性質的環。設R是環,若任意左R模有投射包,則稱R為左完全的。以下性質是等價的:

1.R是左完全環。

2.R/J(R)是半單的且J(R)是T冪零的。

3.任意平坦左R模是投射的。

4.R的任意右主理想鏈滿足極小條件。

完全環的概念是巴斯(H.Bass)於1960年研究模範疇的同調性質時引進的。上面的結果也就是著名的巴斯定理。

局部環

局部環和半局部環分別是完全準素環和半準素環概念的推廣。環R(≠0)中,若不可逆元(即非單位)集A對於加法是封閉的,則R稱為局部環.以下性質是等價的:

1.R是局部環。

2.R中不可逆元的集A是(雙邊)理想。

3.A是極大左(右)理想。

4.對於任意r∈R,r或1-r必是左(右)可逆元。

5.R的雅各布森根J(R)是極大左(右)理想。

6.R/J(R)是除環。

7.J(R)=A={x∈R|Rx≠R}(x稱為非生成子)。

若R/R(J)是半單的,則稱R是半局部的。局部環的概念對於模的分解性質十分重要。對於任意R模M,若M的自同態環End(M)是局部的,則M是不可分解的。反之,若M是不可分解且是內射的,則End(M)是局部環。東屋五郎(G.Azumaya)曾利用局部環的概念,把古典的克魯爾-銳瑪克-施密特定理推廣為項數可以是無窮的情形。局部環也具有特殊的同調性質。卡普蘭斯基(I.Kaplansky)於1958年證明:對於局部環R,任意R投射模是R自由的。

環論

環論是研究環的性質及其運算規律的代數分支學科。近代環論也包含了非結合代數。“環”是抽象代數研究中的基本對象之一。

環和理想的構造在19世紀已為人熟知,並套用在戴德金(R.Dedekind)和克勞尼克(L.Kronecker)等關於代數數的著作中。克勞 尼克(L.Kronecker)將環稱為“order”,希爾伯特(D.Hilbert)才引進了“ring (環)”這一詞。但是抽 象的理論是在20世紀發展起來的。至諾德愛米(N.Noether)將其置於系統化和公理化的基礎上。

環論和群的概念有密切關係, 設S是一個集合,它在加法之下 構成Abel群,在乘法運算之下是 半群,對加法滿足分配律,即對:

∀a, b, c∈S

a(b+c)=ab+ac

(a+b)c=ac+bc

在環中,對乘法而言

ab=0⇏a=0或b=0如果有a∈S, 存在b∈S,使ab=0 (ba=0),則 說a是S中的一個左 (右) 零因 子。不含零因子的交換環稱為整 環。數域上的多項式環也是整環。 n階矩陣環則不是整環。

正如不變子群在群的研究中所 起作用一樣,理想的概念對環的研 究至關重要。對環S中的非空子集 A,如果A關於S中的兩種運算構 成環,則A是S的子環。進一步, 對S中的子環A, 如果∀∈S, a∈ A,有xa,ax∈A,則A稱為環S 的一個理想。顯然S中理想的交集 仍是S的理想,當A是環S的一個 理想時,由加法運算作出商群 S/A,此商群對乘法而言,易證其 為半群,從而S/A構成環,稱為 商環,或稱S關於A的剩餘類環。

環的同態和同構是研究環的重要工具。

設f是環A到環Ā的一個映 照, 如果對∀a·b∈A有f(a+b) =f(a)+f(b),f(ab)=f(a)f(b),則說f 是A到Ā的同態映照, 當f是滿射 時, 則說f是A到Ā的滿同態;而如果f是雙射, 則稱f是A和Ā的 同構映照, 並說A和Ā同構,記為A≃Ā。

設f是A到A的同態映照,o 是中零元素(加群的單位元)記kerf={x∈A|f(x)=0}稱為同態映照f之核,kerf關於加法構成群,關於乘法構成半群。 又∀x∈A, y ∈kerf,

f(xy)=f(x) f(y)=0

f(yx)=f(y) f(x)=0

∴xy,yx∈kerf,故kerf為A的一個理想。由此可得環的同態基本定理。

A是環,則A的任一商環都是A的同態象, 反之,如果Ā是 A在f之下的同態象,則有

A≃A/kerf

由環的概念,可引伸出代數的 概念,設S是一個環,如果作為加法群,它是域K上的向量空 間,域K上的數乘和S上的乘法可交換,即α∈K,a·b∈S,則 (αa)b=α(ab),則S稱為一個代數,進一步可討論代數的表示理論。

環論在域論中起決定性作用,在泛函分析中也獲得廣泛套用。

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