教學能力公式

教學能力公式，即由表及里，“順”用、“逆”用公式，進而達到“變”用與“創”用公式，以巧妙的“活”用代替生硬的“套”用公式。

在公式教學中設法提高學生的思維能力
老河口市賈湖中學　胡俊波
在數學公式教學中不僅要引導學生注重展示公式的形成過程，掌握公式的結構特徵，揭示公式之間的聯繫，而且還要引導學生熟悉公式的各種變化，靈活套用公式，學會由淺入深，由表及里，“順”用、“逆”用公式，進而達到“變”用與“創”用公式，以巧妙的“活”用代替生硬的“套”用公式，這樣既利於學生對知識的掌握，更有利於提高學生的思維能力，特別是創造性思維能力，本文擬談談有關公式教學的探索經驗。
1、“順”用公式，深刻理解結構特徵。
分清公式的題設和結論是掌握數學公式的前提。現行教材中配備了不少“順”用公式的例、習題，從中可訓練學生將字母、符號表示的公式與語言敘述的公式互譯，以加深對公式結構特徵的深刻理解和記憶。這樣，套用時才能準確無誤，得心應手。也為“活”用公式、“創”用公式夯實基礎。
2、“逆”用公式，培養逆向思維。
“逆”用公式解題，是訓練學生逆向思維的重要手段，對於公式，由右向左“逆”用學生不習慣，然而“逆”用公式可以促使學生對公式的更深刻理解，更能開發學生的智力。在教學中我注意了以下兩點：
⑴先使學生明確每個公式的逆命題是否正確，並注意其成立的條件。
⑵通過公式的正逆比較，使學生明確有些題目逆用公式來解比較簡便，以擺脫正向思維定式的影響，培養學生的逆向思維能力。
例1:計算（+5）2－（－5）2
本題可先用完全平方公式求出(+5)2和(－5)2，再求差，但運算量大，若先逆用平方差公式可得巧解。
解:原式=[(+5)+(－5)][(+5)－(－5)]
=10x.
3、“變”用公式，培養思維的靈活性
為了能在更廣闊的背景下運用公式，需要對公式進行各種變形，從而產生不同形式的新公式，“變”用公式可以培養學生思維的高度靈活性。
例2:已知x+y=13，xy=10，求下列各式的值：
⑴x2+y2； ⑵(x－y)2.
粗看似乎無從下手，但注意到乘法公式可以有下列變形：
x2+y2=(x+y)2－2xy,
(x－y)2=(x+y)2－4xy.
可有如下解法：
解　⑴x2+y2=(x+y)2－2xy
=132－2×10
=149.
⑵(x－y)2=(x+y)2－4xy
=132－4×10
=129.
又如在運用勾股定理時，若a、b、c為Rt△ABC的三邊，且c為斜邊，則a2+b2=c2。要求學生對此公式有如下幾種變用方式：
①a2=c2－b2, ②b2=c2－a2, ③a=，
④b=，⑤c=.
讓學生熟悉各種變形，可以使學生在解題時，根據隨時出現的問題的結構特徵、表示形式、數量關係等信息，及時聯想有關公式及其變形，來尋求解題捷徑。
4、“活”用公式，培養思維的靈活性。
有些問題，可以有不同的解法，在教學中要引導學生仔細觀察題目的特徵，活用公式，從而尋求最佳的解題方法。
例3:計算(a+2b)2(a－2b)2.
解法1:若先用完全平方公式
原式=(a2+4ab+4b2)(a2－4ab+4b2)
=[(a2+4b2)+4ab][(a2+4b2)－4ab]
=(a2+4b2)2－(4ab)2
=a4+8a2b2+16b4－16a2b2
=a4－8a2b2+16b4.
解法2:若先用平方差公式
原式=[(a+2b)(a－2b)]2=(a2－4b2)2
=a4－8a2b2+16b4.
例4:計算(a+b+c)2.
學生初學兩數和的完全平方公式，不能運用兩數和的完全平方公式來計算例4，但是經過換元，可以轉化為兩數和的完全平方的形式。
解: (a+b+c)2=[(a+b)+c]2
=(a+b)2+2(a+b)c+c2
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
由此可知，活用不同的公式，將會產生不同的解題效果。這對提高學生的分析問題、解決問題的能力大有裨益，也是開闊學生思路，培養學生髮散思維、聯想和創新能力的有效方法之一。
5、“創”用公式，培養創新性思維。
在教學過程中引導學生創造性運用數學公式，讓學生主動地去探索，不僅可以激發學生學習數學的興趣，而且還能培養學生刻苦鑽研數學問題的熱情和毅力，更能培養學生的創造性思維能力。“創”用公式的方法很多，現舉例如下：
例5：計算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1).
乍看此題無公式可用，“直接展開”太繁，但添上一項(2－1)，便可反覆運用平方差公式解決。
解:原式=(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)
=(22－1)(22+1)(24+1)(28+1)
=……
=216－1.
例6：計算(2x－5y－3)(－2x+5y+5).
初看這兩個因式不符合平方差公式的結構特徵，難以運用公式求解，但若把“－3”拆為“－4+1”，把“5”拆為“4+1”，則運用公式的前景依稀可見。
解:原式=(2x－5y－4+1)(－2x+5y+4+1)
=[(5y+1)+(2x－4)][(5y+1)－(2x－4)]
=(5y+1)2－(2x－4)2
=25y2+10y－4x2+16x－15.
在運用公式的教學中，通過“活”用公式，能有效的讓學生體會數學思想、數學方法，進而培養和提高學生的思維能力，特別是創造性思維能力。
在公式教學中設法提高學生的思維能力
老河口市賈湖中學　胡俊波
在數學公式教學中不僅要引導學生注重展示公式的形成過程，掌握公式的結構特徵，揭示公式之間的聯繫，而且還要引導學生熟悉公式的各種變化，靈活套用公式，學會由淺入深，由表及里，“順”用、“逆”用公式，進而達到“變”用與“創”用公式，以巧妙的“活”用代替生硬的“套”用公式，這樣既利於學生對知識的掌握，更有利於提高學生的思維能力，特別是創造性思維能力，本文擬談談有關公式教學的探索經驗。
1、“順”用公式，深刻理解結構特徵。
分清公式的題設和結論是掌握數學公式的前提。現行教材中配備了不少“順”用公式的例、習題，從中可訓練學生將字母、符號表示的公式與語言敘述的公式互譯，以加深對公式結構特徵的深刻理解和記憶。這樣，套用時才能準確無誤，得心應手。也為“活”用公式、“創”用公式夯實基礎。
2、“逆”用公式，培養逆向思維。
“逆”用公式解題，是訓練學生逆向思維的重要手段，對於公式，由右向左“逆”用學生不習慣，然而“逆”用公式可以促使學生對公式的更深刻理解，更能開發學生的智力。在教學中我注意了以下兩點：
⑴先使學生明確每個公式的逆命題是否正確，並注意其成立的條件。
⑵通過公式的正逆比較，使學生明確有些題目逆用公式來解比較簡便，以擺脫正向思維定式的影響，培養學生的逆向思維能力。
例1:計算（+5）2－（－5）2
本題可先用完全平方公式求出(+5)2和(－5)2，再求差，但運算量大，若先逆用平方差公式可得巧解。
解:原式=[(+5)+(－5)][(+5)－(－5)]
=10x.
3、“變”用公式，培養思維的靈活性
為了能在更廣闊的背景下運用公式，需要對公式進行各種變形，從而產生不同形式的新公式，“變”用公式可以培養學生思維的高度靈活性。
例2:已知x+y=13，xy=10，求下列各式的值：
⑴x2+y2； ⑵(x－y)2.
粗看似乎無從下手，但注意到乘法公式可以有下列變形：
x2+y2=(x+y)2－2xy,
(x－y)2=(x+y)2－4xy.
可有如下解法：
解　⑴x2+y2=(x+y)2－2xy
=132－2×10
=149.
⑵(x－y)2=(x+y)2－4xy
=132－4×10
=129.
又如在運用勾股定理時，若a、b、c為Rt△ABC的三邊，且c為斜邊，則a2+b2=c2。要求學生對此公式有如下幾種變用方式：
①a2=c2－b2, ②b2=c2－a2, ③a=，
④b=，⑤c=.
讓學生熟悉各種變形，可以使學生在解題時，根據隨時出現的問題的結構特徵、表示形式、數量關係等信息，及時聯想有關公式及其變形，來尋求解題捷徑。
4、“活”用公式，培養思維的靈活性。
有些問題，可以有不同的解法，在教學中要引導學生仔細觀察題目的特徵，活用公式，從而尋求最佳的解題方法。
例3:計算(a+2b)2(a－2b)2.
解法1:若先用完全平方公式
原式=(a2+4ab+4b2)(a2－4ab+4b2)
=[(a2+4b2)+4ab][(a2+4b2)－4ab]
=(a2+4b2)2－(4ab)2
=a4+8a2b2+16b4－16a2b2
=a4－8a2b2+16b4.
解法2:若先用平方差公式
原式=[(a+2b)(a－2b)]2=(a2－4b2)2
=a4－8a2b2+16b4.
例4:計算(a+b+c)2.
學生初學兩數和的完全平方公式，不能運用兩數和的完全平方公式來計算例4，但是經過換元，可以轉化為兩數和的完全平方的形式。
解: (a+b+c)2=[(a+b)+c]2
=(a+b)2+2(a+b)c+c2
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
由此可知，活用不同的公式，將會產生不同的解題效果。這對提高學生的分析問題、解決問題的能力大有裨益，也是開闊學生思路，培養學生髮散思維、聯想和創新能力的有效方法之一。
5、“創”用公式，培養創新性思維。
在教學過程中引導學生創造性運用數學公式，讓學生主動地去探索，不僅可以激發學生學習數學的興趣，而且還能培養學生刻苦鑽研數學問題的熱情和毅力，更能培養學生的創造性思維能力。“創”用公式的方法很多，現舉例如下：
例5：計算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1).
乍看此題無公式可用，“直接展開”太繁，但添上一項(2－1)，便可反覆運用平方差公式解決。
解:原式=(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)
=(22－1)(22+1)(24+1)(28+1)
=……
=216－1.
例6：計算(2x－5y－3)(－2x+5y+5).
初看這兩個因式不符合平方差公式的結構特徵，難以運用公式求解，但若把“－3”拆為“－4+1”，把“5”拆為“4+1”，則運用公式的前景依稀可見。
解:原式=(2x－5y－4+1)(－2x+5y+4+1)
=[(5y+1)+(2x－4)][(5y+1)－(2x－4)]
=(5y+1)2－(2x－4)2
=25y2+10y－4x2+16x－15.
在運用公式的教學中，通過“活”用公式，能有效的讓學生體會數學思想、數學方法，進而培養和提高學生的思維能力，特別是創造性思維能力。