基本介紹
總偏差平方和
在單因素方差分析(見下文)中，為了使造成各隨機變數X之間的差異的大小能定量表示出來，引入：
效應平方和
效應平方和記在水平A下樣本和為，其樣本均值為因素A下的所有水平的樣本總均值為
效應平方和為了通過分析對比產生樣本
效應平方和之間差異性的原因，從而確定因素A的影響是否顯著，我們引人 偏差平方和來度量各個體間的差異程度
效應平方和因S能反映全部試驗數據之間的差異，所以又稱為 總偏差平方和。
誤差平方和與效應平方和
效應平方和如果H成立，則r個總體間無顯著差異，也就是說因素A對指標沒有顯著影響，所有的X可以認為來自同一個總體，各個X間的差異只是由隨機因素引起的，若H不成立，則在總偏差中，除隨機因素引起的差異外，還包括由因素A的不同水平的作用而產生的差異，如果不同水平作用產生的差異比隨機因素引起的差異大得多，就認為因素A對指標有顯著影響，否則，認為 無顯著影響。為此，可將總偏差中的這兩種差異分開，然後進行比較。
記
效應平方和則有下面的定理：
效應平方和定理1(平方和分解定理)令，有
效應平方和S表示在水平A下樣本值與樣本均值之間的差異，它是由隨機誤差引起的，稱為 誤差平方和或 組內平方和。S反映在每個水平下的樣本均值與樣本總均值的差異，它是由因素A取不同水平引起的，稱為因素A的 效應平方和或 組間平方和，S=S+S式就是我們所需要的平方和分解式。
統計特性
效應平方和如果H成立，則所有的X都服從常態分配，且相互獨立，則有：
定理2
效應平方和
效應平方和
效應平方和(1)，且，所以為σ 的無偏估計；
效應平方和
效應平方和
效應平方和(2)，且，因此為σ 的無偏估計；
(3)S與S相互獨立；
效應平方和(4)。
單因素方差分析
基本概念
效應平方和在方差分析中，我們將要考察的對象的某種特徵稱為 試驗指標，影響試驗指標的條件稱為 因素，因素可分為兩類，一類是人們可以控制的(如原材料、設備、學歷、專業等因素)；另一類人們無法摔制的(如員工素質與機遇等因素)。下面所討論的因素都是指 可控制因素。每個因素又有若干個狀態可供選擇，因素可供選擇的每個狀態稱為該因素的 水平。如果在一項試驗中只有一個因素在改變，則稱為 單因素試驗；如果多於一個因素在改變，則稱為 多因素試驗。因素常用大寫字母A，B，C，…來表示，因素A的水平用來表示，下面對單因素試驗進行討論。
假設前提
效應平方和
效應平方和設單因素A具有r個水平，分別記為，在每個水平下，要考察的指標可以看成一個總體，故有r個總體，並假設：
效應平方和(1)每個總體均服從常態分配，即；
(2)每個總體的方差σ 相同；
效應平方和(3)從每個總體中抽取的樣本相互獨立，i=1，2，…，r。
效應平方和此處的均未知，將假設及相關符號列表，如表1所示 。
| 水平 |  效應平方和 |  效應平方和 |  效應平方和 |  效應平方和 |
| 樣本 |  效應平方和 |  效應平方和 | 效應平方和 |  效應平方和 |
 效應平方和 |  效應平方和 | 效應平方和 |  效應平方和 | |
 效應平方和 | 效應平方和 | 效應平方和 | ||
 效應平方和 |  效應平方和 | 效應平方和 |  效應平方和 | |
| 樣本和 |  效應平方和 |  效應平方和 | 效應平方和 |  效應平方和 |
| 樣本均值 |  效應平方和 |  效應平方和 | 效應平方和 |  效應平方和 |
| 總體 |  效應平方和 |  效應平方和 | 效應平方和 |  效應平方和 |
| 總體均值 |  效應平方和 |  效應平方和 | 效應平方和 |  效應平方和 |
那么，要比較各個總體的均值是否一致，就是要檢驗各個總體的均值是否相等，設第i個總體的均值為μ，則
效應平方和假設檢驗為；
效應平方和備擇假設為不全相等。
效應平方和
效應平方和 效應平方和
效應平方和在水平下，進行次獨立試驗，得到試驗數據，記數據的總個數為。
效應平方和 效應平方和
效應平方和
效應平方和
效應平方和由假設有(未知)，即有，故可視為隨機誤差。記，從而得到如下數學模型：
效應平方和
效應平方和
效應平方和
效應平方和，各個相互獨立，μ和未知。
方差分析的任務：
效應平方和(1)檢驗該模型中r個總體的均值是否相等；
效應平方和(2)作為未知參數的估計。
效應平方和
效應平方和為了更仔細地描述數據，常在方差分析中引入總平均和效應的概念，將各均值的加權平均值記為μ，即
效應平方和 效應平方和其中再引入
效應平方和δ表示在水平A下總體的均值μ與總平均μ的差異，稱其為因子A的第i個水平A的效應。易見，效應間有如下關係式
效應平方和利用上述記號，前述數學模型可改寫為
效應平方和
效應平方和 效應平方和 效應平方和 效應平方和，各個相互獨立，μ和未知。
而前述檢驗假設則等價於
效應平方和
效應平方和
效應平方和：不全為零．
效應平方和
效應平方和
效應平方和這是因為若且唯若時，，即。
