拓撲域

拓撲域(topological field)是具有拓撲結構的域。若F是一個域,同時為一個拓撲空間,而且F中的代數運算在拓撲空間F中是連續的。 拓撲空間是歐幾里得空間的一種推廣。給定任意一個集,在它的每一個點賦予一種確定的鄰域結構便構成一個拓撲空間。拓撲空間是一種抽象空間,這種抽象空間最早由法國數學家弗雷歇於1906年開始研究。1913年他考慮用鄰域定義空間,1914年德國數學家豪斯多夫給出正式定義。

概念

拓撲域(topological field)是具有拓撲結構的域。若F是一個域,同時為一個拓撲空間,而且F中的代數運算在拓撲空間F中是連續的,即:對任意的a,b∈F,及a-b,ab的任意鄰域W,W′,存在a,b的鄰域U,V使得

拓撲域 拓撲域

當a≠0時,對a的任一鄰域W,存在a的鄰域U,使得UW,則稱F是拓撲域。亨澤爾(Hensel,K.)於1904年發表的有關p進數域的論文被認為是有關拓撲域的最早的研究。

拓撲

拓撲是集合上的一種結構。設T為非空集X的子集族。若T滿足以下條件:

1.X與空集都屬於T;

2.T中任意兩個成員的交屬於T;

3.T中任意多個成員的並屬於T;

則T稱為X上的一個拓撲。具有拓撲T的集合X稱為拓撲空間,記為(X,T)。

設T與T為集合X上的兩個拓撲。若有關係TT,則稱T粗於T,或T細於T。當X上的兩個拓撲相互之間沒有包含關係時,則稱它們是不可比較的。在集合X上,離散拓撲是最細的拓撲,平凡拓撲是最粗的拓撲。

拓撲空間

拓撲空間是歐幾里得空間的一種推廣。給定任意一個集,在它的每一個點賦予一種確定的鄰域結構便構成一個拓撲空間。拓撲空間是一種抽象空間,這種抽象空間最早由法國數學家弗雷歇於1906年開始研究。1913年他考慮用鄰域定義空間,1914年德國數學家豪斯多夫給出正式定義。豪斯多夫把拓撲空間定義為一個集合,並使用了“鄰域”概念,根據這一概念建立了抽象空間的完整理論,後人稱他建立的這種拓撲空間為豪斯多夫空間(即現在的T2拓撲空間)。同時期的匈牙利數學家裡斯還從導集出發定義了拓撲空間。20世紀20年代,原蘇聯莫斯科學派的數學家П.С.亞里山德羅夫與烏雷松等人對緊與列緊空間理論進行了系統研究,並在距離化問題上有重要貢獻。1930年該學派的吉洪諾夫證明了緊空間的積空間的緊性,他還引進了拓撲空間的無窮乘積(吉洪諾夫乘積)和完全正規空間(吉洪諾夫空間)的概念。

20世紀30年代後,法國數學家又在拓撲空間方面做出新貢獻。1937年布爾巴基學派的主要成員H.嘉當引入“濾子”、“超濾”等重要概念,使得“收斂”的更本質的屬性顯示出來。韋伊提出一致性結構的概念,推廣了距離空間,還於1940年出版了《拓撲群的積分及其套用》一書。1944年迪厄多內引進雙緊緻空間,提出仿緊空間是緊空間的一種推廣。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念,他的學生們進行了完整的研究。布爾巴基學派的《一般拓撲學》亦對拓撲空間理論進行了補充和總結。

此外,美國數學家斯通研究了剖分空間的可度量性,1948年證明了度量空間是仿緊的等結果。捷克數學家切赫建立起緊緻空間的包絡理論,為一般拓撲學提供了有力工具。他的著作《拓撲空間論》於1960年出版。近幾十年來拓撲空間理論仍在繼續發展,不斷取得新的成果。

設F是域K的子集,對於K的加法和乘法運算,F也做成一個域,則稱F是K的一個子域,K是F的一個擴域,記作K/F,稱K/F為一個域擴張。設,E/F和K/E都是域擴張,則稱E是K/F的一個中間域。設F是域K的子域,T是K的子集,K/F的含T的所有中間域的交仍是K/F的中間域,這個域記作F(T),稱為F添加T所得到的擴域,或稱T在F上生成的域。當T= {t,…,t} 是K的有限子集時,記F(T)=F(t,…,t),稱這個域是在F上有限生成的。特別地,添加一個元素t於F中而得到的擴域F(t)稱為F的單擴域。域F的擴域K可以看成F上的向量空間,如果K在F上的維數是有限的,則稱K是F的有限次擴域,K/F是有限次域擴張。K在F上的維數記作〔K:F〕,稱為K在F上的次數。設E是域擴張K/F的中間域,則〔K:F〕=〔K:E〕〔E:F〕。如果一個域沒有真子域,就稱為一個素域,在同構的意義下,只有有理數域Q和以素數p為模的剩餘類環Z/(p)是素域。任何一個域F的一切子域的交F是一個素域,如果F≌Q,則稱F是特徵零的,如果F≌Z/(p),則稱F是特徵p的,F的特徵記作CharF。設F是域K的子域,α∈K稱為F上的代數元,如果存在F上的非零多項式f(x),使得f(α)=0,否則,則稱α是F上的超越元。設K/F是一個域擴張,如果K的每個元都是F上的代數元,則稱K/F是代數擴張,否則稱K/F為超越擴張。設K/F是一個域擴張,設A是K中在F上的代數元的全體,則A是K/F的中間域,稱F在K中的代數閉包。一個域K稱為是代數閉域,如果K〔x〕中每個次數大於零的多項式在K中有一個根。域F的一個擴域Ω稱為F的代數閉包,如果 (1)Ω是代數閉域;(2)Ω是F的代數擴域。任何一個域都有一個代數閉包。設E,E′都是域F的擴域,如果E,E′都域F的某個擴域的子域,而且存在E到E′的同構使F中的元不動 (稱為F-同構),則稱E與E′在F上共軛,簡稱F-共軛。設E/F是一個域擴張,如果E/F是代數擴張,而且任意與E是F-共軛的域都等於E,則稱E/F是正規擴張。設F是一個域,f(x)∈F[x],degf(x)>0,如果K是F的擴域,在K[x]中,f(x)=a(x-a) …(x-a),a∈F,a,…,a∈K,而且K=F(a,…,α),則稱K是f(x)在F上的一個分裂域。域F上的次數大於零的多項式f(x),如果在F的某個代數閉包Ω內的根都是單根,則稱f(x)是可分的,否則就是不可分的。a是域F上的代數元,a滿足的最高次項係數為1的最低的多項式稱為a的極小多項式。設K/F是一個代數擴張,如果K的每個元素在F上的極小多項式都是可分的,則稱K/F是一個可分擴張。只含有限個元素的域稱為有限域,有限域的特徵必是某個素數p。設F含有q個元素,F的素域p含有p個元素,[F: P] =f,則q=p。兩個有限域同構若且唯若它們有相同的元素個數。設F是含有q個元素的有限域,F的一切非零元素對於F的乘法做成q-1階循環群,從而有限域的有限次擴域都是單擴域。

人物簡介——亨澤爾

德國數學家。生於柯尼斯堡(Konigsberg),卒於馬爾堡(Marburg)。曾在波恩大學、柏林大學學習,受到利普希茲、外爾斯特拉斯、克羅內克等名師的指導。1884年獲哲學博士學位。1901年被聘為馬爾堡大學教授,並擔任德國著名數學雜誌《純粹與套用數學雜誌》(Journal für die reine undangewandte Mathematik) 的 編輯。1931年獲得奧斯陸(Oslo)大學授予的名譽博士學銜。亨澤爾在函式論、代數學、數論等方面都有重要貢獻。在函式論方面,所謂克羅內克—亨澤爾法則提供了代數函式域的算術基礎。在代數學方面,他證明了矩陣的最小多項式的唯一性。他提出了P—進數的概念,通過進一步的工作,亨澤爾將P—進數發展成一套系統的理論。P—進數法則已成為解決代數數論問題的有效工具,在二次型、數域上的代數以及數論的研究中都得到了成功的運用。亨澤爾的主要著作有《代數函式論》(Theorie der algebraischenFunktionen,1902)《代數數論》(Theorie der algebraischen Zahlen,1908)及《數論》(Zahlentheorie1913)等。

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