介紹
誘出模糊拓撲(induced fuzzy topology)是一類特殊的模糊拓撲。它是由給定分明拓撲誘導出的模糊拓撲。設(X，T)是普通的拓撲空間，以ω(T)記從(X，T)到[0，1]上所有下半連續函式的全體，則ω(T)形成X上的一個模糊拓撲，稱為T的誘出模糊拓撲。並非所有的模糊拓撲都是誘出模糊拓撲。
誘出模糊拓撲是1975年威斯(Weiss， M.D.)引入的，它是聯繫分明拓撲與模糊拓撲的一條紐帶。
模糊拓撲空間
模糊拓撲空間是拓撲空間的一種重要推廣。指具有由模糊子集族構成的拓撲結構的空間。設J是論域X上的一模糊子集族，若J滿足條件：
1.∅，X∈J;
2.對任何U，V∈J，有U∩V∈J;
3.對任何{U}⊂J，有∪U∈J;
則稱J為X上的一個模糊拓撲，並稱(X，J)為模糊拓撲空間。J中的元稱為模糊開集，簡稱開集。
模糊拓撲空間這一概念是由張(Zhang， C.L.)在1968年引入的。1976年，羅溫(Lowen， R.)將上述模糊拓撲定義中的條件1加強為：
1′.對任何r∈[0，1]， r∈J， r表示X上隸屬函式取常值r的模糊子集。
這種羅溫意義下的模糊拓撲空間也稱為滿層模糊拓撲空間，它不以分明拓撲空間為特款。
模糊拓撲學
模糊拓撲學是研究和探討帶有層次結構拓撲問題的科學，又稱不分明拓撲學或弗晰 (fuzzy) 拓撲學。模糊性數學的分支學科。
1965年，查德 (L.A.Zedeh) 提出的模糊集概念 不僅豐富了經典集合論的內容，也刺激了與集合論關 系密切的拓撲學研究。經過中外學者的努力，現已形 成模糊拓撲學這個生機勃勃的研究領域。不分明拓撲 空間以通常拓撲空間為特款，但層次結構的特點使它 具有了不同於一般拓撲空間的特有風格。在這更一般 的框架下，傳統的領域系這個鄰近構造出現了嚴重的 局限。中國學者提出的新的鄰近構造——重域系，克 服了這一基本困難。目前，這一領域正結合著若干代 數性質的研究，圍繞格上拓撲學這個主題深入展開。 不分明拓撲學的成果已套用於模糊數學的其它理論研 究與實際套用中。
模糊拓撲學的主要研究內容有：①模糊拓撲空間 的一般理論;②連通性問題;③擬一致結構、度量化 及近性結構理論;④分離性問題;⑤緊性問題及 Stone-cech緊化理論;⑥不分明同倫論等。
拓撲空間
拓撲空間是歐幾里得空間的一種推廣。給定任意一個集，在它的每一個點賦予一種確定的鄰域結構便構成一個拓撲空間。拓撲空間是一種抽象空間，這種抽象空間最早由法國數學家弗雷歇於1906年開始研究。1913年他考慮用鄰域定義空間，1914年德國數學家豪斯多夫給出正式定義。豪斯多夫把拓撲空間定義為一個集合，並使用了“鄰域”概念，根據這一概念建立了抽象空間的完整理論，後人稱他建立的這種拓撲空間為豪斯多夫空間(即現在的T2拓撲空間)。同時期的匈牙利數學家裡斯還從導集出發定義了拓撲空間。20世紀20年代，原蘇聯莫斯科學派的數學家П.С.亞里山德羅夫與烏雷松等人對緊與列緊空間理論進行了系統研究，並在距離化問題上有重要貢獻。1930年該學派的吉洪諾夫證明了緊空間的積空間的緊性，他還引進了拓撲空間的無窮乘積(吉洪諾夫乘積)和完全正規空間(吉洪諾夫空間)的概念。
20世紀30年代後，法國數學家又在拓撲空間方面做出新貢獻。1937年布爾巴基學派的主要成員H.嘉當引入“濾子”、“超濾”等重要概念，使得“收斂”的更本質的屬性顯示出來。韋伊提出一致性結構的概念，推廣了距離空間，還於1940年出版了《拓撲群的積分及其套用》一書。1944年迪厄多內引進雙緊緻空間，提出仿緊空間是緊空間的一種推廣。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念，他的學生們進行了完整的研究。布爾巴基學派的《一般拓撲學》亦對拓撲空間理論進行了補充和總結。
此外，美國數學家斯通研究了剖分空間的可度量性，1948年證明了度量空間是仿緊的等結果。捷克數學家切赫建立起緊緻空間的包絡理論，為一般拓撲學提供了有力工具。他的著作《拓撲空間論》於1960年出版。近幾十年來拓撲空間理論仍在繼續發展，不斷取得新的成果。
