基本定義
拐點在數學上指改變曲線向上或向下方向的點，直觀地說拐點是使切線穿越曲線的點。若該曲線圖形的函式在拐點有二次導數，則二次導數必為零或不存在。
在生活中借指事物的發展趨勢開始改變的地方（例如：經濟運行出現回升拐點）
概述
拐點數學
可以這樣通俗的理解拐點，即在a點的左右f ''(x)的正負發生變化的點，f ''(a)異號（由正變負或由負變正）或者不存在。
在數學領域是指，凸曲線與凹曲線的連線點。
拐點定義（根據高等數學同濟6版上冊第151頁）
一般的，設y=f(x)在區間I上連續，x0是I的內點（除端點外的I內的點）。如果曲線y=f(x)在經過點(x0,f(x0))時，曲線的凹凸性改變了，那么就稱點(x0,f(x0))為這曲線的拐點。
凹的充分條件
若曲線y=f(x)(a≤x≤b)的一段，位於其任意一點的切線之上（或之下），則稱這個可微分的函式y=f(x)的圖形於閉區間[a,b]上是凹（或對應地，凸）的。在假設二階導函式f"(x)存在的情況下，當a0[或對應地f"(x)<0]成立，為圖形是凹（或對應地，凸）的充分條件。
拐點的必要條件：設f(x）在（a,b）內二階可導，x0∈（a,b），若(x0,f(x0))是曲線y=f(x)的一個拐點，則f‘’（x0)=0。
拐點的充分條件：設f(x）在（a,b）內二階可導，x0∈（a,b），則f‘’（x0)=0，若在x0兩側附近f‘’(x0)異號，則點(x0,f(x0))為曲線的拐點。否則（即f‘’(x0)保持同號，(x0,f(x0))不是拐點。
當函式圖像上的某點使函式的二階導數為零，且三階導數不為零時，這點即為函式的拐點。
若函式y=f(x）在c點可導，且在點c一側是凸，另一側是凹，則稱c是函式y=f(x）的拐點。另外，如果c是拐點，必然有f''(c)=0或者f''(c）不存在；反之則不成立；比如，f(x)=x^4，有f''(0)=0，但是0兩側全是凸，所以0不是函式f(x)=x^4的拐點。
拐點的求法（摘錄自高等數學同濟5版上冊第149頁）
可以按下列步驟來判斷區間I上的連續曲線y=f(x)的拐點：
⑴求f''(x)；
⑵令f''(x)=0，解出此方程在區間I內的實根，並求出在區間I內f''(x)不存在的點；
⑶對於⑵中求出的每一個實根或二階導數不存在的點x0，檢查f''(x)在x0左右兩側鄰近的符號，那么當兩側的符號相反時，點(x0,f(x0))是拐點，當兩側的符號相同時，點(x0,f(x0))不是拐點。
例如，y=x^3,y'=3x^2,y''=6x，解出x=0時，y'=0,y''=0：y在（負無窮大，0）上為增函式，y''<0，函式曲線為凸函式；y在（0，正無窮大）上為增函式，函式y''>0，函式曲線為凹函式。但y全區間函式為增函式，拐點在這裡說明的只是函式曲線凹凸分界點。
生活
在生活中，拐點多用來說明某種情形持續上升一段時間後開始下降或回落。在數學上這句話是錯的，這種點叫極值點、穩定點或者叫駐點；所以，有了經濟的拐點，房地產的拐點，以及股市的拐點。
其他解釋
中國人民大學喻國明教授關於“拐點”的解釋
所謂“拐點”，原是高等數學中的一個概念，套用到傳媒領域，是指中國媒介改革還存在很大的增量空間。但是，如果按照現行的發展模式、發展框架發展下去而不做變革，這種增量空間就很難得到挖掘。
喻國明認為，挖掘增量空間的方式有兩種。一是巨觀體制的改革，從體制層面放寬傳媒改革的領域。二是媒介傳播者自身，要對媒介的“生產方式”、“生產流程”、運營價值鏈的建構、市場機會點的把握方面有一個全新的整合與操作。
內容簡介
拐點它們都曾經是世界上最頂級的金融公司，而且還是百年老店；它們都有深沉的企業文化，有被長期的經營成功所證明的系統化管理理念和管理體系。它們都是經歷過無數次風雨洗禮的精英企業……然而當危機來臨時，這四家世界金融巨頭幾乎是在一瞬間，從4300億美元到80億美元，市值縮水達4220餘億美元……
這次金融危機最大的特點是：大批實力雄厚的金融巨頭在頃刻之間倒下甚至破產。每一次危機就是一次機會，百年一遇的危機，就是人生的最大機會。
解讀這些企業成功的密碼，解密它們突然敗亡的蛛絲馬跡，讓普通投資者在風暴來臨時能成功規避這些超級颶風的席捲、頂級陷阱的捕捉，讓中國的企業在發展中能多一些理性、多一些智慧、多一些應對真正的世界危機的經驗，這就是本書出版的初衷。因為，對於這些百年老店的深入了解和學習，是我們打造中國百年老店的必需功課。
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《拐點》：職場的路很長，但要緊處只有幾步，這要緊的幾步，就是拐點。
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N0.6 那些愛過她的人，那些怨過她的人，或者正在愛她的人，正在怨她的人，如今都在台下看她，她不想去看他們，她只想華光四射……
——尊嚴靠實力說話
目錄
引子
省城
1.舞蹈讓夢有了翅膀
2.全運會的孔雀公主
3.當明星的機會
江都
4.歌舞團是個複雜的小社會
5.高海濤：我媽媽說……
6.這個計畫見不得陽光
北卡羅來納
7.初到美國那些事兒
8.陸飛洋：我幫你繳學費
9.閃婚後遺症
莫哈維沙漠
10.德魯鎮的夜總會
11.這世界上最親密的就是美元
12.他用了Decent這個單詞
13.黃金一般的罌粟花
14.邁特：你就是孔雀公主
15.一輩子忘不了又能怎樣
16.一覺醒來，還在原地
洛杉磯
17.轉身之後的陰影
18.畢業、轉正、辦綠卡
19.孫華：你是否喜歡我
20.訂婚前後
21.禍從口出
22.血淋淋的真實
23.心靜了，哪裡都是故鄉
24.國內那些訊息
25.兩個喝悶酒的男人
不再遠行
26.還能回頭嗎
27.上天的安排
作者簡介
孟悟，女，工商管理碩士，旅美作家，廣天響石簽約作者。先後在美國的財稅公司、大學、政府部門等從事過金融財務工作，有大量文學作品發表在《僑報》、《明報》、《多維時報》等美國華文報刊上，著有長篇小說《喬治亞往事》、文集《有一種風景叫行走》等。
