內容簡介
本書第1章在複數域內討論數域擴張理論，在數域的特殊情況下引出了Galois群的概念.第2、3章建立了群、環、域的概念，介紹了群論和環論的基本理論.第4章討論一般的域擴張理論，以及Galois理論的基本內容.第5章是模論，在其中用抽象代數的方法重新建立了矩陣的Jordan標準形理論.本書編者長期從事代數學的教學工作，有豐富的教學經驗.在處理數學問題時力求直接了當，努力做到敘述清楚，務求語言精確並且流暢.每章末附有習題供練習用. 本書可作為高等院校數學各專業抽象代數課程教材，也可供自學者和科技工作者閱讀.
目錄
第 1章數環和數域 1
1.1數環與數域 . 1
1.2域的單純擴張 7
1.3有限擴張和代數擴張 11
1.4圓規直尺作圖 .18
1.5分裂域 .22
習題 1.30
第 2章群.32
2.1等價關係和集合的分類 .32
2.2群的定義 33
2.3群的例子 37
2.4子群 .44
2.5陪集分解和 Lagrange定理 48
2.6同態和同態基本定理 51
.2.7直積,自同構 57
.2.8群在集合上的作用 61
2.9合成群列和可解群 66
習題 2.72
第 3章環和域 76
3.1定義與初等性質 .76
3.2環的同態 83
3.3理想和商環 88
3.4分式域 .91
3.5因子分解 92
習題 3. 100
第 4章域論和 Galois理論 103
4.1素域 . 103
4.2單純擴張 105
4.3代數擴張,分裂域 . 109
4.4有限域 . 113
4.5可分多項式 115
IV目錄
4.6 Galois理論的主要結論 . 118
.4.7定理 4.6.1和定理 4.6.2的證明,例子 . 124
.4.8單位根和交換擴域 129
.4.9定理 4.6.3的證明,例子 135
習題 4. 144
.第 5章模論 147
5.1基本概念 147
5.2自由模 . 152
5.3主理想整環上的有限生成模 156
5.4唯一性,準素分解 . 165
5.5套用 . 170
習題 5. 182
參考文獻 184
前言
抽象代數是數學系的一門重要專業課 ,其任務是提供近代代數學的基礎知識和基本訓練,但它也是一門比較難學、比較難教的課程 .由於代數學在處理問題的思路和方法上與其他數學分支有很大差異 ,加之沒有後續課程 ,以及本身教學時數不多，所以學生對這門課程往往掌握得不夠好.抽象代數的教學的不足會使學生在數學修養上有所欠缺.
抽象代數教學效果不盡如人意的原因除去學時少和沒有後續課程外，教學內容的選取也是重要因素 .在某些情況下 ,由於受到學時的限制 ,抽象代數隻講一些基本概念 ,如群、環、域等以及它們的初等性質 ,而沒有講授代數的進一步理論和套用，這使學生對代數理論所包含的數學思想缺乏了解 .結果是學生們知道了一些概念 ,但沒有看到它們解決了什麼問題 ,也就不會對這門學問有多少印象了.
本書是作為大學本科數學系抽象代數課程的教材來編寫的 ,也是對這一課程教材建設的一個探索.我們在本書寫作時,遵循下面幾個做法:
一、本書以域論和多項式方程的 Galois理論作為一個重點 .這當然是抽象代數教材的通常做法 .這樣做的原因在於 Galois理論在代數學發展史上的劃時代的意義 .在古代 ,代數學的研究內容是解方程 ,而在 Galois理論出現後 ,代數學的研究對象就轉向各種代數體系的構造 .正是伽羅華揭示了代數體系的性質是代數學裡一些數學現象出現的最根本的原因 .在介紹這個理論時 ,我們不追求講法的新穎性、一般性甚至嚴密性 ,我們要說清楚的是子域和子群的對應關係以及方程可解與 Galois群可解的關係,是包含在這個理論中的數學思想.
二、本書在講法上也作了一些嘗試 .我們在第 1章專門討論數域擴張問題 ,從數域的單純擴張、分裂域一直到多項式的 Galois群,把數域的擴張問題演習了一遍 .這和一般抽象代數教材從群的定義開始講授有較大的不同 .數域是我們身邊的數學對象 ,學生們對它早已有所了解.只不過沒有從代數學的角度去思考過問題 .此時講數域擴張實際上是從一個新的角度去思考熟悉的對象 .在這裡 ,由於代數基本定理 ,單純擴域和分裂域的存在是明顯的 ,本原元素定理不難證明 ,所以數域擴張的這部分內容也較容易，學生們理解起來也沒有困難 .編者曾經按這個辦法講授過 ,學生們對於相關內容都能理解並表現出很大的興趣 .這一章 ,還對包含三等分角在內的所謂“古希臘三大幾何作圖問題”用域擴張理論證明了不可能 .在引出 Galois群之後 ,我們轉向群和環的公理化的討論 ,即第 2、3兩章的內容 ,重點是同態的理論.這一部分也不從群論和環論的角度追求完整和數學上的嚴密 ,在一定程度上還承認直覺 ,目的只是為一般的域擴張理論做環論的準備 ,為 Galois理論做群論方面的準備 .在第 4章則講授任意域的擴張理論 .此時我們藉助環同態理論來建立任意域上單純擴張的存在性和分裂域的存在性 .於是就把第 1章中的理論從數域推廣到任意域上 ,然後證明 Galois理論的基本定理和方程可解的判別法.
三、為了幫助學生掌握抽象代數的新概念 ,我們不斷地回顧高等代數的內容 ,試圖用新概念去說明高等代數中的一些問題 .例如在談到群作用時我們會舉出許多在高等代數中出現
II前言
的群作用、軌道、軌道代表元的例子 .這樣做 ,一方面幫助學生理解新概念 ,另一方面又使學生對高等代數的內容有更深的理解 ,我們確信這也是提高教學質量的一種手段 .本書內有大量的例子.有些例子中包含不少的計算,建議學生們自己動手做這種計算.
四、本書包含的內容有些可能超出教學的需要 ,這其實也是正常的現象 .這樣做的好處是使教師有了一定的選擇餘地 .對於內容和學時不匹配的矛盾 ,使用本教材時可以通過下面舉出的一種或多種方式加以解決 .其一 ,整個第 5章可以不講 ;其二 ,第 2、3兩章中帶 .號的內容可以不講或少講 ;其三 ,在第 4章 Galois理論部分我們在寫法上做了特別的安排 :首先用整個一節的篇幅對這個理論的要點做了較詳細的介紹 ,並用例子加以說明 ,然後再用三節的篇幅對介紹中舉出的主要結論一一證明 .於是在使用本教材時 ,如果感到學時緊張 ,可以只學習介紹理論要點的那一節 ,而把後面三節作為閱讀材料 .我們估計 ,只要學生用心體會要點介紹的那一節的內容,也可以對 Galois理論有一定的理解.
本書只是抽象代數教材建設的一種探索 ,對於如何編出好教材 ,我們有一些想法 ,但這些想法是否正確 ,以及這些想法是否在本書中很好地體現 ,都是需要在使用中加以檢驗的 .因編者水平有限,如有錯誤或不當之處,歡迎讀者批評指正.
編者
2014年 1月
