扭結群:歐氏空間R中的簡單閉曲線稱為扭結(knot)。由有限條直線所組成 -百科知識中文網

基本介紹

扭結群(knot group)是研究扭結的一個工具。若K為扭結，則的基本群稱為K的 扭結群。取扭結K的一個正則投影P，使得投影平面為平面，然後對於中的每個二重點P，設它對應於K中的兩個點，這時，若的z坐標大於的z坐標，則稱K中附近線段的投影為中的 上行段，附近線段的投影為中的 下行段(如圖)。若給定K的一個指向，選取的基點為z坐標充分大的點q，對於每條上行段，引入一條以q為基點的環道，它對於K的指定的取向右旋的繞上行段一周，這些環道在中所決定的元素記為(表示R的上半空間)，然後對於每個交點，如圖所示，引入關係，則K的扭結群

因為上述n個關係中的任何一個可用其餘個表出，所以G還可表示為

它稱為G的 維丁格爾表示。若G的換位子群是，則是無限循環群Z，扭結群是扭結型的不變數，但具有同構扭結群的扭結不一定等價，因此尋找儘可能精細的扭結不變數是扭結研究中的一個重要問題。

相關概念介紹

扭結(knot)亦稱環繞，是幾何拓撲學的一個重要概念。設K是拓撲空間X的一個子集，若K同胚於p維球面，則稱K為X中的一個扭結。一般地，X的一個子集K，若K同胚於r個球面的無交並，則稱為X中的一個環繞。所以扭結是環繞的特殊情形，對於X中的兩個扭結或環繞，若存在同胚，使得，即，則稱為等價的。扭結或環繞的等價類稱為 扭結型或 環繞型。實際上，除了有特別的說明以外，在這些問題中，一般總假定X為n維歐氏空間，n維球面或n維單形，在這裡限制X為3維歐氏空間，K為，即此處所指的扭結是中的一條簡單閉曲線。對於的一個自同胚h，若存在倫移，使得每個為同胚，為恆等映射，，則稱為 合痕於恆等映射。對於中的扭結若存在的合痕，使得，則稱 有相同的合痕型。合痕與等價是兩個不同的概念。例如，圖中所列的兩個三瓣扭結是等價的，但不具有相同的合痕型，因為關於其中某張平面的反射，可把變為它的鏡面像，但不能通過連續的變形把變為。到自身的同胚可以惟一地擴張為到自身的同胚，因此在討論扭結問題時，也可用代替，於是可知任意同胚合痕於恆等同胚若且唯若h為保向同胚。中平面上的單位圓周所表示的扭結及其扭結型稱為 平凡的或 不打結的，否則稱為打結的。在扭結的等價之下，可用中由有限條邊構成的多邊形來表示的扭結稱為 溫良的，否則稱為 野生的。對於可用多邊形表示的溫良扭結K，可取中的平面以及到π的投影p，使得：

1.的多重點只限於二重點，並且只有有限個。

2.K的頂點不映為的二重點，這樣的一個投影稱為K的正則投影。

若兩個紐結處於互不相繞的位置，則可以通過兩段小弧把它們互相連結起來，如同上圖右，這樣形成的一個新扭結稱為扭結的結合，結合的操作稱為扭結的乘法。於是全體扭結型在這種乘法之下成為一個交換半群。一個扭結型稱為素的，若不能再用非平凡扭結將它分解。所以在此扭結型半群之中，每一個扭結型能惟一地表示成有限個素扭結型的乘積。

在20世紀30年代之前，扭結理論主要以美國的亞歷山大(Alexander，J.W.)以及德國的賴德邁斯特(Reidemeister，K.W.F.)、賽費特(Seifert，H.K.I.)為代表發展起來的，40年代幾乎沒有太多進展.以後，美國的福克斯(Fox，R.H.)在這方面的貢獻較多。進入20世紀80年代以來，一些著名數學家如韋吞(Witten，E.)等投入這方面研究，他把扭結理論與量子場聯繫起來，得到了瓊斯-韋吞(Jones-Witten)的不變數。高登(Gordon，C.M.)與呂克(Luecker，J.)證明了中的一個扭結K由它的補決定。里可里西(Lickorish)利用考夫曼(Kauffmen)括弧多項式構造了3維流形不變數，並描述此不變數與的關係。

扭結群

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