基本介紹
托里拆利點
托里拆利點 托里拆利點 托里拆利點在 的外側分別作正三角形 ，這三個正三角形的外接圓(托里拆利圓)相交於一點M，則點M稱為 托里拆利點。三個內角皆小於120°的 的托里拆利點有如下特性：它到 三頂點的距離之和AM+BM+CM是三角形內點中到三頂點距離之和中最小的。
義大利學者托里拆利(E.Torricelli，1608-1647)，首先研究了托里拆利點的問題，因而得名。
在一定條件下，托里拆利點和正等角中心、費爾瑪點是同一點，只不過提出的角度不同。托里拆利點是從共點圓方面提出，正等角中心是從共點線方面提出，費爾瑪點則是從幾何極值方面提出的。
圖1相關介紹
費馬點問題最早是由法國數學家皮埃爾·德·費馬在一封寫給義大利數學家埃萬傑利斯塔·托里拆利（氣壓計的發明者）的信中提出的。托里拆利最早解決了這個問題，而19世紀的數學家斯坦納重新發現了這個問題，並系統地進行了推廣，因此這個點也稱為 托里拆利點或 斯坦納點，相關的問題也被稱作費馬-托里拆利-斯坦納問題。這一問題的解決極大推動了聯合數學的發展，在近代數學史上具有里程碑式的意義。
相關例題分析
托里拆利點
托里拆利點例1 在 的邊上向形外(形內)作正 ，
托里拆利點證明：直線 相交於一點，並求這個點的三線性坐標。
這個點叫做 第一(第二)等角中心，第一等角中心也稱做 托里拆利點或 費馬 點。
托里拆利點
托里拆利點
托里拆利點
托里拆利點提示 點 具有三線性坐標 ，其中上面的符號對應向外作三角形，下面的符號對應向內作三角形，所以直線 用方程 給出，因此三線性坐標為
托里拆利點 托里拆利點的點是直線 的交點 。
相關介紹
《將軍巡營》解
三座兵營分別設定在大片開闊地的三處，將軍經常要去巡視。他從自己的指揮所出發，到達第一兵營後回到指揮所；再去到第二兵營後回到指揮所；最後又去到第三兵營後回到指揮所。一天，他忽然想到要把指揮所搬到少走路程的地方，卻拿不定主意，不知指揮所應放在哪兒才合適 。
這則民間傳說引起許多人的興趣，進行研究這個問題的大有人在。經歷了不知多少年，謎底始終沒有被揭開，便一直成為懸案，稱為 (將軍巡營)問題。
以每座兵營為一個點，三座兵營作為頂點，便構成—個三角形。那么，指揮所可擬作三頂點以外的另一個點，於是問題可以敘述為：試確定一點，使它至三頂點往返的距離和為最小。
往返的距離和最小，相應地，單程的距離和也最小。這樣，《將軍巡營》問題實質上就是“試求一點，使它到已知三角形的三頂點距離之和為最小。”這樣一個極值問題。
根據那則民間傳說提出這個極值問題的就是費馬，後人從他致義大利物理學家托里拆利(1608-1647)的信中見到它。
對於這類幾何極值的問題，費馬相當熟悉它的解法。
圖2
托里拆利點
托里拆利點最簡明的解法是套用“等角特徵”原理。見圖2，如果三角形ABC中有一點P，那么，當 時，這點便是費馬所提出求解的那個點，即P點是到A、B、C三點距離之和最小的點。若另取一點 ，必有
托里拆利點《將軍巡營》問題是由費馬解決的，將軍的指揮所放在哪兒?也是費馬向托里拆利提出的那個點，後人稱為“ 費馬 點”。
顯然，要使確定的P點產生三等角，只有當三角形的每個內角都小於120 時才存在。這樣，費馬點究竟在哪兒，就有以下答案：
若已知三角形的每個內角都小於120 ，則所求的點即是與三頂點構成三等角的點：若已知三角形有一內角大於或等於120°，則所求的點是這個三角形的最大內角的頂點。
圖3
托里拆利點
托里拆利點怎樣確定費馬點?見圖3，分別以三角形的三邊為—邊，向形外作等邊三角形 ，則 的任兩線交點便是費馬點(實際上是三線匯交於一點P)，這點也叫三角形的“ 正等角中心”。
托里拆利點不過，托里拆利卻別出心裁地用另一種方法來定費馬點。圖3是用共點線考慮的，而托里拆利則按共點圓考慮，分別作三個等邊三角形 的外接圓，則三圓匯交於一點P(圖4)，這是 費馬點，也叫“ 托里拆利點”，那三個圓則稱為“ 托里拆利圓”。
圖4
托里拆利點
托里拆利點一般作法是采剛折衷辦法，即僅作—個等邊三角形，用一個圓和-—條直線來確定費馬。如圖5的圓(等邊三角形 的外接圓)與 的交點P就是所要求的點 。
圖5