定義
z變換是離散系統的復頻域分析法。它是對於n﹤0為零的離散序列（所謂“右邊序列”）x(n)通過關係式
∞
X(z)=Σ x(n)z(-n)
n=0
參數說明
(其中（-n）為z的冪次，下同)變換為復變數z=ρejω的函式X（z）。它就是時間序列x(n)的“復頻域”表示方式。 從中看出，對於“右邊序列”，ρ愈大時愈有利於z變換的收斂。z變換的收斂區為以ρ0為半徑的圓的外部。ρ0就被稱之為“收斂半徑”。不難看出，有限長序列，t=0時方出現的直流、正弦波或周期序列，指數序列an,其收斂半徑分別為0,1及a 。
用z變換很容易進行離散系統的復頻域分析。為此，首先將給定的激勵序列x（n）按照上述的z變換公式變換為它的z變換X（z）；然後通過將系統的差分方程或衝激回響進行z變換，求出該系統的傳遞函式H（z），於是系統零狀態回響的z變換就是激勵的z變換與傳遞函式的乘積，即
Y(z)=X(z)H(z)
最後將Y（z）進行“z反變換”之後，就得到回響的離散序列y(n).實際上，在“復頻域”中兩個z變換的乘積，對應於“時間域”中兩個離散序列的卷積。例如設系統的激勵及衝激回響分別為
x(n)=h(n)=1, 0≤n≤2
=0, 其餘
則可求出激勵的z變換及系統的傳遞函式為
X（z）=H(z)=1+z(-1)+z(-2)
於是回響的z變換
Y（z）=X(z)H(z)=(1+z(-1)+z(-2))2
=1+2z(-1)+3z(-2)+2z(-3)+z(-4)
相應的離散序列
y(n)=n+1, n=0,1,2
=5-n, n=3,4
=0, 其餘
與在時域中用離散卷積得出的結果相同。
5-5 線性系統復頻域分析法
下面以線性電路系統為例來研究線性系統的復頻域分析方法。由於復頻域形式的KCL,KVL，歐姆定律，在形式上與相量形式的KCL,KVL，歐姆定律全同，因此關於電路頻域分析的各種方法(節點法、割集法、網孔法、迴路法)、各種定理(齊次定理、疊加定理、等效電源定理、替代定理、互易定理等)以及電路的各種等效變換方法與原則，均適用於復頻域電路的分析，只是此時必須在復頻域中進行，所有電量用相應的像函式表示，各無源支路用復頻域阻抗或復頻域導納代替，但相應的運算仍為複數運算。其一般步驟如下：
(1) 根據換路前的電路(即t<0時的電路)求 時刻電感的初始電流 和電容的初始電壓 ；
(2) 求電路激勵(電源)的拉普拉斯變換(即像函式)；
(3) 畫出換路後電路(即t>0時的電路)的復頻域電路模型；
(4) 套用節點法、割集法、網孔法、迴路法及電路的各種等效變換、電路定理等，對復頻域電路模型列寫KCL，KVL方程組，並求解此方程組，從而求得全回響解的像函式；
(5) 對所求得的全回響解的像函式進行拉普拉斯反變換，即得時域中的全回響解，並畫出其波形。
例 5-11 圖5-10(a)所示電路， , ， ，
， \ 。求零輸入回響 。
圖5-10
解：因只求零輸入回響，故應使激勵源 ，進而可畫出求零輸入回響的s域電路模型，如圖5-10(b)所示。故可列出兩個獨立節點的KCL方程為
將已知數據代入並整理求解，即得
查表5-2中序號12，13的公式，即得
例 5-12 圖5-11(a)所示電路， , ， , ， ， ， 。求全回響 。
圖5-11
解：該電路的s域電路模型如圖5-11(b)所示。其中 ， 。故可列出獨立節點的KCL方程為
聯立求解並化簡，即得
故得
故得
例 5-13 圖5-12(a)所示電路，已知t0時開關K兩端的電壓 。已知 , , , ， 。
解：因t<0時K閉合，電路已工作於穩態，且電路中作用的是直流電壓源Us，故此時電感L相當於短路，電容C相當於開路。故有
於是可作出t>0時的復頻域電路模型，如圖5-12(b)所示，進而可寫出網孔迴路的KVL方程為
將已知數據代入並求解即得
又
故得
圖5-12
例 5-14 圖513(a)所示電路，求零狀態回響 。
圖5-13
解：因有 ， ，故得復頻域電路模型如圖5-13(b)所示，進而可列出獨立節點的KCL方程為
解之得
故得
例 5-15 圖5-14(a)所示電路。已知 , , , 。今於t=0時刻閉合K，求t>0時的回響 , , , , ，並畫出波形。
圖5-14
解：t>0時的s域電路模型如圖5-14(b)所示，進而可列出獨立節點的KCL方程為
代入數據解得
故得
又有
故
即
故
故得
又
故得
又
故得
可以驗證有
。
也可以用以下方法求 , ,, , 。從圖5-14(a)可看出有
故
其波形如圖5-14(c),(d),(e)所示。可見 和 中出現了衝激，這是因為在電路的換路瞬間(即t=0時刻)， , ,上的電壓 , 發生了突變。
例 5-16 圖5-15(a)所示電路。已知K打開時 ， , , 。今於t=0時刻閉合K。 求t>0時的回響 , ，並畫出波形。
解：K打開時的時域等效電路如圖5-15(b)所示。 t>0時的s域電路模型如圖5-15(c)所示。
式中， 。
故得
又
其波形如圖5-15(d),(e)所示。
圖5-15
例 5-17 圖5-16(a)所示電路， 為回響。(1)、 求單位衝激回響 ；(2) 、求電路的初始狀態 , ，以使電路的零輸入回響 ; (3)、 求電路的初始狀態 ， ，以使電路對 的全回響 仍為 。
解：(1) 、該電路在單位衝激 激勵下的s域電路模型如圖516(b)所示，其中 ， 。故得
經拉普拉斯反變換得
圖5-16
(2)、 在零輸入條件下電路的s域模型如圖5-16(c)所示。故得
依題意要求，應使 ，即
故得
即
故有
故得 。
(3) 當激勵 時， ，其s域電路模型如圖5-16(d)所示。故得
按題意要求，應使 。即
故有
即
即
故有
故得 ， 。
例 5-18 圖5-17(a)所示電路，以 為回響。(1) 求單位衝激回響 ； (2) 已知 , ，求全回響 。
圖5-17
解：(1)、 時的s域電路模型如圖5-17(b)所示，其中 。故得
故得
(2) 、此時的s域電路模型如圖5-17(c)所示。故得
故得
的波形如圖5-17(d)所示。
