廖奇早年在北京和省立南昌一中讀書，1927年從東南大學體育系畢業，回到江西，在南昌一中和心遠中學擔任體育和音樂教員。不久，攜胡琴到天津、北平、上海、武漢等地，為京劇名角操琴，蜚聲海內。每到一處，總是找機會觀摩當地著名琴師的技藝，取長補短。上海京劇界名琴師陳彥衡，性格保守，他就潛藏在沙發後面，偷看陳的運弓和指法，盡得其妙。
20世紀30年代初，廖奇與人合資開辦南昌德勝大舞台。江浙一帶著名女演員汪鳴鸞在該台掛牌唱文武老生，廖奇伴奏。有一回演《空城計》，汪飾諸葛亮，唱至中段，廖奇拉斷了一根弦，汪鳴鸞震驚。廖奇鎮定自若，一根弦拉到底，觀眾一點也未察覺。另一次汪鳴鸞唱《獨木關》，因患感冒嗓子有點啞，到高腔時她唱不上去，廖奇立即降低一個調門，耍了個滑腔，托著鳴鸞的唱腔，讓她順利地唱下去，觀眾以為演員在變新腔。兩人互為對方的超群技藝而傾倒，由敬慕發展到愛情，終於1932年結為伉儷。
廖奇的一把京胡，拉得出神入化，引得許多琴迷追隨左右。京戲院貼出的海報，只要寫明是廖奇操琴，便場場爆滿。他被京劇界推崇為“江西第一把京胡”、“江西第一弦”。在戲劇界很多人知道“廖大可”，而並不知道其本名廖奇。抗戰初期，廖奇夫婦參加了國民黨第三戰區辦的軍人評劇團，他擔任導演兼音樂指導。後因避戰亂，帶領家人輾轉浙江、安徽、江西的贛州和南城，曾在江西省資源委員會大庾鎢業管理處汽車轉運站、江西省府南遷的稅務機構工作，兼京劇院臨時工作。1945年8月抗戰勝利，10月經老同學推薦和中正大學（抗戰時期創建於江西的一所綜合性大學）同意，組建國立中正大學杏社（評劇俱樂部），從1946-1949年任戲劇導師。汪鳴鸞則經常到杏社參加排練和演出，每學期都在學校大禮堂演出。新中國建立後，他為京劇名角劉筱衡、徐碧雲操琴。1950年，當選為江西省文聯籌委會委員兼省劇協籌委。歷任江西省文藝學校京劇音樂教師，南昌市工人京劇院、海南島文工團、南昌市京劇團的音樂指導。1957年被下放到武寧縣京劇團。後因病於1958年6月在南昌去世。
