基本介紹
定理1 設1≤λ<k<v-1，n=k-λ，若(v，k，λ)-差集存在。則
(i) λ(v-1)=k(k-1)，
(ii)4n-1≤v≤n +n+1。
(iii)當v為偶數時，n為平方數；當v為奇數時。不定方程
平面差集有不全為零的整數解x，y，z。
定義 λ=1時的差集即(v，k，1)-差集叫做 平面差集(planar difference set)。這是因為此時由n=k-λ=k-1及定理1(i)得v=n +n+1，k=n+1，即由此差集可得到一個n階射影平面 。
相關結論
由Singer定理即得下述結果。
定理2 若q為素數冪，則(q +q+1，q+1，1)-循環平面差集存在。
猜想1 所有Abel平面差集都是循環平面差集。
上述猜想尚未獲得解決。又由於所有已知的平面差集都是素數冪階的，因此有理由懷疑非素數冪階平面差集的存在性。即有下述猜想。
若存在n階平面差集，則n必為素數冪。
由定理2可知，在λ=1即平面差集的情形，存在無窮對整數(v，k)使(v，k，1)-循環差集存在，從而也就有無窮多對整數(v，k)使(v，k，1)-Abel差集存在，但對給定的λ≥2已知(v，k，λ)-Abel差集存在的整數對(v，k)都是很稀少的，例如對λ=2，Dickey與Hughes證明了當k≤5000時使(v，k，2)-Abel差集存在的(v，k)僅有4對：
(v，k)=(7，4)，(11，5)，(16，6)與(37，9).
猜想：對給定的λ≥2，僅有有限對整數(v，k)使(v，k，λ)-Abel差集存在 。
H.A.Wilbrink(1985)和其他一些人觀察到對n>2且n=2(mod 4)的n值，不存在平面差集，見定理3。
定理3 設D是階為v：=n +n+1的交換群G中的一個(n +n+1，n+1，1)-差集，如果n≡0(mod 2)但n≠0(mod 4)，則n=2。如果n≡0(mod 3)但n≠0(mod 9)，則n=3。
