【摘要】：隨著Schrodinger運算元理論的發展,調和分析在研究其中的很多問題中起到越來越重要的作用。2006年,B.Simon(Schrodinger operators in the twentieth cen-tury)在總結二十世紀Schrodinger運算元的研究進展時指出,與Schrodinger運算元的現代理論最緊密相關的數學是泛函分析、調和分析和複分析。經典調和分析在一定的意義上可以看作是與Laplace運算元緊密相關的數學理論,與Schrodinger相關的調和分析問題的研究,是對經典調和分析理論的進一步的發展,成為現代數學領域的一個熱門的研究方向。 本文充分結合了譜理論和經典調和分析的方法,在已有結論的基礎上,對常數磁場Schrodinger運算元相關的一些調和分析問題進行了深入的研究。本文主要分為以下幾個部分。 第一章是本文的緒論,主要介紹了Schrodinger運算元的理論產生的背景,與該運算元相關的調和分析問題研究的簡要發展歷程,以及磁場Schrodinger運算元的研究發展狀況。 第二章研究常數磁場Schrodinger運算元的Marcinkiewicz譜乘子的Lp有界光滑性條件,其中p在2的附近。研究譜乘子的基本工具是,根據常數磁場Schrodinger運算元的譜表示,利用譜展開的Reisz平均構造兩個Littlewood-Paley g-函式,套用譜投影運算元限制性定理,對這兩個g-函式Lp有界與求和指標β之間的關係給出精細的刻畫。並利用得到的結果,在H.Dappa工作的基礎上,給出了常數磁場Schrodinger運算元的譜乘子的Marcinkiewicz準則。 在第三章中,我們討論與常數磁場Schrodinger運算元譜展開的Riesz平均的幾乎處處收斂性問題。對有關Laplace運算元,Hermite運算元等有所研究,對於常數磁場Schrodinger運算元並沒有這方面的研究。我們通過建立一類g-函式的L2估計,獲得相應的極大函式的估計,從而得到求和指標β0時,Riesz平均在L2中是幾乎處處收斂的。當0β(n一1)/2時,我們通過對緊支乘子的加權L2估計得到了Riesz平均在Lp(2≤p2n/n-12β)中的幾乎處處收斂性。這個結論與經典的傅立葉積分的結論相似。 在第四章,我們研究與常數磁場Schrodinger運算元相關的Hardy空間。對於卷積核相關的Hardy空間以及扭曲卷積核相關的Hardy空間已經有了充分的研究,並且都已經得到了很好的結果。但是這種卷積和扭曲卷積混合的熱核相關的Hardy空間還沒有被研究過,因此這種探索也是一個新的嘗試。我們得到其Hardy空間的原子分解,這些原子其消失條件與對應的扭曲平移相關。並引入一類Heisenberg型群,用與之對應的熱核相關的極大函式來等價地刻畫群上的Hardy空間,通過討論磁場Hardy空間與群上的Hardy空間兩者之間的關係,我們得到了常數磁場Hardy空間的Riesz變換的特徵。 本文第五章主要研究多參數的、沿曲面的、帶粗糙核的奇異積分運算元在Lp上的有界性問題。當核函式球面部分屬於L(1og+L)ε(Sm-1×Sn-1)(ε=1或2),在乘積空間中沿著一個超曲面的奇異積分運算元及其相應的Marcinkiewicz運算元是Lp上有界的運算元。問題的研究歸結為一個低維的極大函式的估計。這裡的光滑性條件幾乎是最優的。 最後,我們總結本文得到的主要成果,並且著重介紹了科研成果中的創新性結論和創新性方法。還對常數磁場Schrodinger運算元今後的研究工作做出了進一步的展望與構想。
【關鍵字】：磁場Schr(o|¨)dinger運算元譜乘子Riesz平均極大運算元Hardy空間Riesz變換奇異積分
【學位授予單位】：湖南大學
【學位級別】：博士
【學位授予年份】：2011
【分類號】：O177.6
【目錄】：
- 摘要5-7
- Abstract7-10
- 第1章 緒論10-17
- 1.1 Schrodinger運算元理論研究的發展10-14
- 1.2 本文的主要內容14-17
- 第2章 常數磁場Schrodinger運算元的譜乘子有界性估計17-41
- 2.1 常數磁場Schrodinger運算元的譜乘子定義17-18
- 2.2 Littlewood-Paley函式的L~p有界性18-35
- 2.3 常數磁場Schrodinger運算元的譜乘子的L~p有界性35-41
- 第3章 常數磁場Schrodinger運算元Riesz平均幾乎處處收斂性估計41-58
- 3.1 常數磁場Schrodinger運算元的極大運算元定義41-42
- 3.2 常數磁場Schrodinger運算元的極大運算元的L~p有界性42-48
- 3.3 常數磁場Schrodinger運算元的極大運算元的L~p加權有界性48-58
- 第4章 常數磁場Schrodinger運算元相關的Hardy空間58-81
- 4.1 極大函式及Hardy空間的定義58-59
- 4.2 Hardy空間的原子分解59-67
- 4.3 極大函式對Hardy空間的刻畫67-71
- 4.4 Hardy空間的Riesz變換特徵71-81
- 第5章 沿超曲面的多重奇異積分運算元81-100
- 5.1 沿超曲面的多重奇異積分運算元的定義及定理介紹81-85
- 5.2 相關引理介紹85-90
- 5.3 定理5.1.1的證明90-93
- 5.4 定理5.1.2和5.1.3的證明93-96
- 5.5 定理5.1.5的證明96-100
- 結論100-103
- 參考文獻103-110
- 博士期間完成的論文110-111
- 致謝111
