定義
在邏輯中，真值或邏輯值是指示一個陳述在什麼程度上是真的。在計算機編程上多稱作布爾值。
釋義
在經典邏輯中，唯一可能的真值是真和假。但在其他邏輯中其他真值也是可能的: 模糊邏輯和其他形式的多值邏輯使用比簡單的真和假更多的真值。
在代數上說，集合 {真,假} 形成了簡單的布爾代數。可以把其他布爾代數用作多值邏輯中的真值集合，但直覺邏輯把布爾代數推廣為 Heyting代數。
在 topos理論中，topos 的子對象分類器接管了真值集合的位置。
簡介
定義固定一個完全布爾代數 B和一階語言 L，後者由一組常量符號、函式符號和關係符號構成。 L的布爾值模型因此就由全集 M，它是元素(或 名字)的集合，和對這些符號的釋義組成。特別是，這個模型必須為 L的每個常量符號指派一個 M的元素，並為 L的每個 n-元函式符號 f和 n-元組 <a0,...,a n-1> 中的每一個指派 M的元素，這個模型必須為項 f(a0,...,a n-1) 指派 M的元素。
關係符號和等式的釋義是更加複雜的: 對 M每對元素 a, b，模型必須為表達式 a= b指派一個真值 || a= b|| ；這個真值取自 B。類似的，對於 L的每個 n-元關係符號 R和 n-元組 <a0,...,a n-1> 中的每一個指派 M的元素，這個模型必須指派 B的一個元素為 || R(a0,...,a n-1)|| 的真值。
需要寫些文字來解釋在釋義等式上的額外限制，保證它是等價關係並且這個關係顧及了等價事物的代換。
其他公式
其他公式可以使用布爾代數來釋義；對於命題連結詞這是很容易的；你可以簡單的在子公式的真值上套用對應的布爾運算符。例如，如果 φ( x) 和 ψ( y, z) 分別是帶有一個和兩個自由變數的公式，並且是要代換 x、 y和 z為模型的全集的元素 a、 b和 c，則
的真值簡單的是
對於量化的公式，我們需要利用布爾代數 B的完全性。如果 φ( x) 是帶有自由變數 x(可能還有其他我們忽略的自由變數)，則
這裡右手端要被理解為在 B中所有真值 ||φ( a)|| 的上確界，這裡 a的範圍在 M之上。
一個公式的真值有時被稱為它的可能性。它不能理解為一般意義上機率，它們不是實數而是完全布爾代數的 B的元素。
模型
給定一個完全布爾代數 B，有一個指示為 V的布爾值模型，它是馮·諾伊曼全集 V的布爾取值的類似者。(嚴格的說， V是真類，所以我們需要適當的重新解釋對於模型意味著什麼)。非形式的說，我們認為 V是象“布爾值集合”的某種東西；換句話說，布爾值集合，不再有定義分明的元素和非元素，而有帶有是這個集合的元素的特定“可能性”的對象。這個“可能性”是 B的一個元素，不是實數。這不同於模糊集合的概念。
布爾值集合的(“可能的”)元素，依次也是布爾值集合，它的元素也是布爾值集合，以此類推。要得到布爾值集合的非循環定義，我們需要有層次的建造它們。所以對於 V的每個序數 α 我們定義集合 Vα為:
Vα是 β<α 的 Vβ的並集，如果 α 是極限序數(包括 0)。 Vα+1是從 Vα到 B的所有函式的集合。(這種函式表示 Vα的“可能的”子集；如果 f是這種函式，則對於任何 x∈ Vα， f( x) 是 x在這個集合中的可能性)。 我們定義類 V是所有集合 Vα的並集。
有可能相對化這個完整構造於ZF(或者有時它的片段)的某個傳遞模型 M。在這種情況下我們通過套用上述構造於 M內部而構造布爾值模型 M。對傳遞模型的限制是不嚴重的，因為Mostowski塌陷引理蘊涵了所有合理的(良基的外延)模型同構於傳遞模型。(如果模型 M不是傳遞事物而使其變得更加雜亂，因為 M對什麼意味著是“函式”或“集合”的釋義可能不同於“外延”釋義)。
接著我們需要在集合 V上定義兩個 B-值的等於關係和成員關係。(在 V上的 B-值關係是從 V× V到 B的函式)。為了避免混淆於通常的等式和成員關係，對於在 V中的 x和 y，它們指示為 || x= y|| 和 || x∈ y||。它們定義如下:
|| x∈ y|| 被定義為 ∑ t∈Dom( y) || x= t|| ∧ y( t) (" x在 y中如果它等於在 y中的某個東西") || x= y|| 被定義為 || x⊆ y||∧||y⊆ x|| (" x等於 y如果 x和 y相互都是對方的子集")，這裡的 || x⊆ y|| 被定義為 ∏ t∈Dom( x) x( t)⇒|| t∈ y|| (" x是 y的子集如果所有 x的元素都在 y中") 符號 ∑ 和 ∏ 意味著我們在完全布爾代數 B中採用最小上界和最大下界。第一眼看來上述定義好象是循環的: || ∈ || 倚賴於 || = ||，它依賴於 || ⊆ ||，它依賴於 || ∈ ||。但是閉合檢查證實了 || ∈ || 的定義只對於更小階的元素依賴於 || ∈ ||，所以 || ∈ || 和 || = || 是從 V× V到 B的良好定義的函式。
最後我們需要檢查在 V上的這兩個 B-值的關係 || ∈ || 和 || = || 使 V成為集合論的布爾值模型。沒有自由變數的每個一階集合論的句子都在 B中有一個值，我們需要檢查等式的所有公理和 ZF 集合論的所有公理(沒有自由變數的)有 B的元素“真”的值。這是直截了當的，但是要花很長時間因為有很多不同的公理需要檢查。
引用
Bell, J. L. (1985)Boolean-Valued Models and Independence Proofs in Set Theory, Oxford. ISBN 0-19-853241-5 Jech, Thomas（2002）．Set theory, third millennium edition (revised and expanded)．Springer． ISBN 3540440852 ． Kunen, Kenneth（1980）．Set Theory: An Introduction to Independence Proofs．North-Holland． ISBN 0-444-85401-0 ． Kusraev, A. G. and S. S. Kutateladze（1999）．Boolean Valued Analysis．Kluwer Academic Publishers． ISBN 0-7923-5921-6 ． Contains an account of Boolean-valued models and applications to Riesz spaces, Banach spaces and algebras. Manin, Yu. I.（1977）．A Course in Mathematical Logic．Springer． ISBN 0387902430 ． Contains an account of forcing and Boolean-valued models written for mathematicians who are not set theorists.
