基本介紹
當a>0,a≠1,b>0,b≠1且N>0時,
![對數換底公式](/img/f/368/wZwpmLycDO5kTNzkzNxYjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL5czLxUzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
稱為對數換底公式,式中1/logb稱為以a為底的對數換成以b為底的對數的轉換模,特殊情形是
![對數換底公式](/img/c/773/wZwpmL2AzMxMDNxQDOxYjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0gzL4EzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
或
![對數換底公式](/img/4/460/wZwpmL1YDOwYjMxUzNxYjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL1czLwYzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
換底公式可以把一個對數化為以任何大於零而不等於1的數為底的對數 。
特別的當(1)中a=10時,
![對數換底公式](/img/e/889/wZwpmL3cjMwYzNzkzNxYjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL5czL2YzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
換底公式的變形及推論
![對數換底公式](/img/c/6e4/wZwpmL0UTMyQDNwcjNxYjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL3YzLwQzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
①
![對數換底公式](/img/d/474/wZwpmL4QTNwgDO1cTNxYjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL3UzL3AzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
②
![對數換底公式](/img/6/30b/wZwpmL3cTN0gDOzUDOxYjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL1gzLyIzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
③
![對數換底公式](/img/3/4f9/wZwpmL2AjMwMDN3cjNxYjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL3YzLxIzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
④
![對數換底公式](/img/8/c1b/wZwpmL4EDM1gDNzgTNxYjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL4UzLyQzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
⑤
例題解析
![對數換底公式](/img/7/35a/wZwpmLxMDN0MDN4IjNxYjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLyYzLxIzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![對數換底公式](/img/5/ba2/wZwpmLwUjNycDN5QzNxYjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0czLwgzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
【例1】求證其中,。
![對數換底公式](/img/8/b0d/wZwpmLyEDM4EDOzYzNxYjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL2czL0YzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
證法一 設
![對數換底公式](/img/0/af8/wZwpmL2ATOyQDMwcTNxYjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL3UzLwMzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
則
![對數換底公式](/img/d/76c/wZwpmL0MDM1cDO3ADOxYjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLwgzL2YzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![對數換底公式](/img/e/2d4/wZwpmL2cDN0kTOyUzNxYjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL1czLzAzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![對數換底公式](/img/a/1a8/wZwpmLyMDM5QzM0cTNxYjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL3UzLxczLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
證法二
![對數換底公式](/img/d/652/wZwpmL0MTM5ATO4ADOxYjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLwgzLzEzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![對數換底公式](/img/4/6dd/wZwpmL4EzM3MzMzIjNxYjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLyYzL0YzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![對數換底公式](/img/3/a28/wZwpmLwEjM5MTMzkDOxYjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL5gzL1YzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
【例2】求的值。
![對數換底公式](/img/1/1b7/wZwpmL1UTM0gjN1AjNxYjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLwYzL2IzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
解:
![對數換底公式](/img/7/f5a/wZwpmLyYjM3kDO5YjNxYjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL2YzLyEzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
【例3】計算。
![對數換底公式](/img/f/c7c/wZwpmLwYjNyUDOzMDOxYjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzgzL0EzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
解法1:原式=
![對數換底公式](/img/e/344/wZwpmL3cTN3kDO0IjNxYjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLyYzL4czLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
解法2:原式=
![對數換底公式](/img/c/3c6/wZwpmL1ITO4kzNzAzNxYjN1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLwczLwUzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
解法3:原式=
對數換底公式(formula of change of base of logarithms)簡稱換底公式,是對數的一種恆等變形,指更換底數時同一真數的兩個對數間的關係式 。
當a>0,a≠1,b>0,b≠1且N>0時,
稱為對數換底公式,式中1/logb稱為以a為底的對數換成以b為底的對數的轉換模,特殊情形是
或
換底公式可以把一個對數化為以任何大於零而不等於1的數為底的對數 。
特別的當(1)中a=10時,
①
②
③
④
⑤
【例1】求證其中,。
證法一 設
則
證法二
【例2】求的值。
解:
【例3】計算。
解法1:原式=
解法2:原式=
解法3:原式=
換底公式是高中數學常用對數運算公式,可將多異底對數式轉化為同底對數式,結合其他的對數運算公式一起使用。計算中常常會減少計算的難度,更迅速的解決高中範圍的對數運算。
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