內容簡介
本書在讀者已有微積分、線性代數和矩陣分析等基礎知識的基礎上簡明實用地介紹了泛函分析的基礎理論及其套用。全書內容共分為 7 章: 第 1 章介紹集論基礎知識; 第 2 章介紹度量空間的基本概念及其重要性質; 第 3 章介紹賦范線性空間的基本概念, 重點介紹了有界線性運算元和泛函的基本知識; 第 4 章介紹 Banach 空間理論的基本定理, 重點介紹了Hahn-Banach 定理和共鳴定理, 以及弱收斂和全連續運算元的基本概念及性質, 最後介紹線性運算元譜的基本概念和理論基礎; 第 5 章介紹內積空間和規範正交集的基本概念和基本理論; 第 6 章重點介紹幾個基本的不動點定理及其重要的套用; 第 7 章介紹非線性泛函分析基礎, 主要包括測度和 Lebesgue 積分, 以及非線性運算元的概念, 比較詳細地介紹了 Banach 空間中的微積分理論基礎及套用, 最後介紹了錐的概念。
本書可供高等院校數學類專業高年級學生、理工專業碩士/博士研究生學習使用, 也可供高校教師在教學和科研中參考使用。
目錄
第1 章集論基礎 1
11 集與映射 1
12 基數 6
121 可數基數 7
122 連續統基數 9
123 基數的比較 10
13 集論發展簡史 14
第2 章度量空間 17
21 一致連續性與一致收斂性 17
211 一致連續性 17
212 一致收斂性 25
22 度量空間的概念和例子 27
221 度量空間的概念 27
222 HÄolder 不等式和Mnkowsk 不等式 28
223 度量空間的例子 30
23 度量空間中的基本概念 34
231 開集和閉集 34
232 稠密性與可分性 37
24 度量空間中的極限與完備性 40
241 度量空間中的極限 40
242 度量空間中的連續性 48
25 緊性 50
第3 章賦范線性空間 57
31 線性空間 57
32 Zorn 引理 60
33 賦范線性空間 61
331 賦范線性空間的概念 61
332 賦范線性空間中的極限 62
333 賦范線性空間的例子 64
334 賦范線性空間中的級數 66
335 有限維賦范線性空間 67
34 線性運算元 72
341 線性運算元的概念 72
342 有界線性運算元 78
343 線性泛函 83
344 有限維線性空間中的線性運算元和線性泛函 85
35 對偶空間 89
36 線性空間概念發展簡史 93
第4 章Banach 空間理論基礎 96
41 有界變差函式 96
42 Steltjes 積分 101
43 Hahn-Banach 定理 107
44 共鳴定理 111
45 弱收斂 113
451 賦范線性空間中的序列 113
452 有界線性運算元列 115
453 有界線性泛函列 118
454 套用: 定積分近似計算 118
46 伴隨運算元 120
47 自反空間 122
48 開映射定理 123
49 閉圖像定理 124
410 緊運算元 127
411 線性運算元的譜理論基礎 130
4111 特徵值和特徵向量 130
4112 有界線性運算元的譜 131
4113 緊運算元的Resz-Schauder 理論 139
第5 章內積空間 145
51 內積空間的概念 145
511 有限維內積空間 145
512 一般內積空間的概念 150
52 直和分解 154
53 正交集 159
531 規範正交集 159
532 完全規範正交集 163
54 Hlbert 空間中的線性泛函表示 170
第6 章不動點定理及其套用 173
61 Banach 壓縮映像原理及其套用 173
611 Banach 壓縮映像原理 173
612 套用1: 線性方程組解的存在唯一性 179
613 套用2: 微分方程解的存在唯一性 181
614 套用3: Fredholm 積分方程解的存在唯一性 183
615 套用4: Volterra 積分方程解的存在唯一性 184
616 套用5: 隱函式的存在唯一性 186
62 Brouwer 不動點定理及其套用 191
621 Brouwer 不動點定理 191
622 套用: 多項式根的存在性 192
63 Schauder 不動點定理及其套用 193
631 全連續運算元 193
632 Schauder 不動點定理 196
633 套用: 微分方程解的存在性 196
第7 章非線性泛函分析基礎 200
71 測度 200
711 外測度 200
712 可測集 202
72 可測函式 205
721 可測函式的概念 205
722 可測函式的構造 209
73 Lebesgue 積分 211
731 Lebesgue 積分概念 211
732 Lebesgue 控制收斂定理 217
74 Nemetsk 運算元與Urysohn 運算元 218
741 Nemetsk 運算元 218
742 HÄolder 不等式和Mnkowsk 不等式 225
743 Urysohn 運算元 226
75 Banach 空間中的微積分 229
751 抽象函式的積分 229
752 抽象函式的微分 232
753 Fr¶echet 微分 233
754 中值定理 239
755 n 階Fr¶echet 微分 241
756 Taylor 中值定理 245
757 G^ateaux 微分 247
76 套用 251
761 GrÄonwall-Bellman 不等式 251
762 套用1: 運算元方程隱函式定理 251
763 套用2: 微分方程解的存在唯一性 257
764 套用3: 微分方程解的(整體) 存在性 259
77 錐 260
771 錐的概念 260
772 正規錐與正則錐 262
773 錐的進一步性質及例子 265
參考文獻 269
