定差冪線定理

定差冪線定理

若直線l⊥線段AB於H，M1與M為l上兩點，則AM1^2一AM^2 =BM1^2 一BM^2。

推論Ⅰ

（定差冪線軌跡定理）已知兩點A和B ，則滿足AM^2一BM^2=k^2(k為常數)的點P的軌跡是垂直於AB的一條直線。

推論Ⅱ

(斯坦納定理)已知△ABC，由點A B 、C 分別向三邊BC、CA、AB所引的垂線共點的充要條件是：
A1B^2 一BC1^2 + C1A^2 一AB1^2 + B1C^2 一CA1^2 = 0

推論Ⅲ

給定△ABC，P是任意一點，m、n、l各是AP、BP、CP的等角線，則m、n、l三線共點或互相平行。

定差冪線定理的證明

證法一

若PM⊥AB，則有AP ^2一AM^2 =BP^2 一BM^2。
證明：若直線PM⊥AB於N，則
AP^2 一AN^2 = PN^2；
AM^2 一AN^2 = MN^2．
以上兩式相減得
AP^2 一AM^2 = PN^2 一MN^2．①
同理，
BP^2 一BM^2 = PN^2 一MN^2．②
由式①、②得
AP^2 一AM^2 = BP^2 一BM^2 ．③
證畢。
反之，若有AP ^2一AM^2 =BP^2 一BM^2成立，則PM⊥AB。
證明：設∠ANP=α，則∠BNP=π―α．
故AP^2 一AM^2
= AN^2 + PN^2 ― 2AN・PNcosα+2AN・MNcosα一AN^2 一MN^2
= PN^2 一MN^2 一2AN・PNcosα+2AN・MNcosα．
BP^2 一BM^2
= PN^2 + BN^2 一2PN・BNcos(π―α) 一MN^2 一BN^2 + 2MN・BNcos(π―α)．
= PN^2 一MN^2 + 2PN・BNcosα一2MN・BNcosα．
由式③得
2AN・MNcosα一2AN・PNcosα
= 2PN・BNcosα一2MN・BNcosα，
即MN(AN + BN)cosα
= PN(AN + BN)cosα．
從而，(PN 一MN) cosα=0，即PM cosα=0．
因此，cosα=0．
又因為0<α<π，所以α= π/2．
故PM⊥AB．

證法二

證明：以長度為d的線段AB上任意一點為原點O，過O點且垂直於線段AB的直線OM為y軸建立以OA為x正半軸的平面直角坐標系，並設A(一t,0)、B(d-t,0)、M(x,y)，(其中t>0)，則
∵AM^2 一MB^2=k（定值）
∴[（x+t）^2-y^2]- [（x-d+t）^2-y^2]=k
∴x=�d^2-2dt+k�/d(常數)
所以，點M的軌跡是一條垂直於AB的直線。