歷史
蘇格蘭科學家、造船工程師約翰·史考特·羅素（1808–1882）於1834年8月在英國格拉斯哥運河旁騎馬時發現了自然界中的孤波——水面上滾動的水柱以每小時8-9英里的速度向前滾動，持續超過一英里。10年後，他在英國科學促進協會第14屆會議上，發表論文《論水波》也稱為羅素水波。
孤波解是一類特殊的偏微分方程的解。
孤立子
在1834年8月，英國科學家、造船工程師約翰·羅素（Russell，John Scott 1808～1882）觀察到一隻運行的木船船頭擠出一堆水來；當船突然停下時，這堆水竟保持著它的形狀，以每小時大約13千米的速度往前傳播。10年後，在英國科學促進協會第14屆會議上，他發表了一篇題為《論水波》的論文，描述了這個現象。他把這團奇特的運動著的水堆稱為“孤立波”或“孤波”。這決不是普通的水波。因為普通的水波是由水面的振動形成的，水波的一半高於水面，一半低於水面，而且在擴展一小段距離後即行消失；而他所看到的這個水團，卻具有光滑規整的形狀，完全在水面上移動，衰減得也很緩慢。1965年，美國科學家扎布斯基（Zabusky，N.）和克魯斯卡爾（Kruskal，M.D.）等在電子計算機做數值試驗後意外地發現，以不同速度運動的兩個孤波在相互碰撞後，仍然保持各自原有的能量、動量的集中形態，其波形和速度具有極大的穩定性，就像彈性粒子的碰撞過程一樣，所以完全可以把孤波當作剛性粒子看待。1965年以後，人們進一步發現，除水波外，其它一些物質中也會出現孤波。在固體物理、電漿物理、光學實驗中，都發現了孤立子（或稱孤子）。
孤立子現象
孤立子現象是否隱含著物質從微觀到巨觀存在的一種統一的規定性呢？這種規定性很可能是存在的。孤立波同樣表明了物質的波粒二象性，正因如此，物理學家們試圖用通過研究孤立子揭示出來的規律描述基本粒子。
現代物理學研究認為，孤子是一種相干結構，相干結構存在於具有無窮多自由度的連續介質或流體複雜系統中。在相干結構中有無窮多個守恆的物理量，相干結構是當前非線性科學研究的前沿。如果宇宙產生於原初的一次巨大爆炸的結論是確實的，那么這種爆炸無疑會表現為連續介質的擴散，這種擴散應當是不均勻的，因為在爆炸點的中間和外緣的介質運行速度會有差異，這樣就會形成相干結構，那么各種粒子的產生方式與我們已知的孤立子產生方式就應當具有相似性。從羅素觀察的“水堆”我們不難分析出，“水堆”要保持其形狀，就其“內部”來說必須有能量勢差，從而推動水分子在水堆內部運動，同時通過能量（按守衡定律）交換的方式維持這種能量勢差。如果我們將能量勢差的中值點記為零，那么水堆就是依靠正能量勢差和負能量勢差維持其形態的。
孤子還是一個需要深入研究的客觀現象，但其所揭示的孤子產生的物理規律，卻似乎說明了質量粒子及宇宙中的其它粒子就是產生於宇宙爆炸的能量海洋，而從質量粒子的特性看，其內部含有的似乎就是一種負能量勢差。
數學模型
孤波解是一類特殊的非線性偏微分方程的行波解。
KdV方程、mKdV方程、非線性薛丁格方程、sine-Gordon方程和高次Boer-Kraup 系統都有孤波解。
分類
孤波有如下幾種類型：鍾型孤波、反鐘形孤波、扭型孤波、反扭型孤波，呼吸子等。
套用
孤子波套用於從量子力學到光信息傳輸到DNA結構等諸多領域。
光學中，單一光波束稱為孤波。理論上傳輸穩定，不失真，被實驗於光纖通信領域。
光孤立子(光孤子)，是一種脈衝，當色散被非線性效應抵銷時則此脈衝將傳輸一段距離而不會失真。
相關書籍
水槽中的孤波(非線性科學叢書)(Solitary wave in water trough)。
《水槽中的孤波》介紹水槽中的孤波的理論和實驗及其研究進展，目的是要通過水波孤子這個最直觀的物理事例及其產生的機制，對孤子與孤波的一系列性質給以具體的說明《水槽中的孤波》既不是單純數學理論的嚴格展開（本叢書中黃念寧和郭柏靈的書對此有專門的論述；此外，還有大量的專著和文獻可供參考），也是實驗事實的簡單羅列，書儘可能從物理概念上、從理論與實驗相結合中展開討論.由於主要介紹水槽中的孤波，《水槽中的孤波》所涉及的將主要是淺水波的KdV方程和非線性薛丁格方程（NLS方程），而對孤子理論中其他一些非線性演化方程，包括正弦一戈登方程，不能不有所割愛。
介紹水槽中的孤波的理論和實驗及其研究進展，目的是要通過水波孤子這個最直觀的物理事例及其產生的機制，對孤子與孤波的一系列性質給以具體的說明.本書既不是單純數學理論的嚴格展開（本叢書中黃念寧和郭柏靈的書對此有專門的論述；本書所涉及的將主要是淺水波的KdV方程和非線性薛丁格方程（NLS方程）。
