基本介紹
若二次曲線是由兩條直線構成的，則稱為奇異的或退化的二次曲線，否則稱為非奇異的或非退化的二次曲線。如果曲線方程為：
奇異二次曲線那么它是奇異二次曲線的充分必要條件是
奇異二次曲線二次曲線有奇點的充分必要條件為它是奇異的 。
相關介紹
二次曲線與無窮遠直線的相關位置
奇異二次曲線在仿射平面上，齊次仿射坐標滿足三元二次方程
奇異二次曲線的點的集合叫做仿射平面上的 二次曲線。在方程(1)中，係數a為實數且至少有一個不為零，方程(1)叫做仿射平面上的二次曲線的方程 。
方程(1)可簡寫成
奇異二次曲線方程(1)也可以用矩陣表示為
奇異二次曲線
奇異二次曲線
奇異二次曲線
奇異二次曲線
奇異二次曲線其中矩陣叫做二次曲線(1)的係數矩陣，或表示係數行列式，且。
奇異二次曲線
奇異二次曲線當時，則此二次曲線叫做 非退化的二次曲線；當時，此二次曲線叫做 退化的二次曲線。
奇異二次曲線 奇異二次曲線現在求無窮遠直線與二次曲線的交點，把代入方程(1)，得
奇異二次曲線從而解得
奇異二次曲線
奇異二次曲線因此，當時，方程(2)有兩個不相等的實根；
奇異二次曲線當時，方程(2)有兩個相等的實根；
奇異二次曲線當時，方程(2)有兩個共軛的虛根。
奇異二次曲線根據二次曲線與無窮遠直線相交的情況，即根據的符號，我們把式(1)所表示的二次曲線進行分類 。
奇異二次曲線定義 當A>0時，方程(1)所表示的曲線叫做 橢圓型二次曲線；當A=0時，方程(1)所表示的曲線叫做 拋物型二次曲線；當A<0時，方程(1)所表示的曲線叫做 雙曲型二次曲線。而且，當時，上述三種類型的二次曲線分別叫做橢圓、拋物線、雙曲線。
由定義，顯然雙曲線與無窮遠直線有兩個實交點(即相割)，拋物線與無窮遠直線只有一個實交點(即相切)，橢圓與無窮遠直線有兩個共軛虛交點(即通常意義下的相離)，我們把二次曲線與無窮遠直線的交點叫做二次曲線上的無窮遠點。3種二次曲線與無窮遠直線的位置關係如圖1所示。
圖1由定義顯然可知，一條非退化二次曲線為拋物線的充要條件是它與無窮遠直線相切 。
二次曲線的射影分類
射影平面上二次曲線與下列五種曲線之一射影等價：
奇異二次曲線(1)(無圖形)
奇異二次曲線(2)(橢圓、雙曲線、拋物線)
奇異二次曲線(3) (一點)
奇異二次曲線(4) (一對相交直線)
奇異二次曲線(5) (一對重合直線)
其中前兩類是非退化的二次曲線，後三類是退化的二次曲線。
