均值保留展開式

均值保留展型(mean-preserving spread MPS) 在機率與數理統計中,均值保留展開型的意思是一個機率分布A變化到另外一個機率分布B,B的構成是將A的 機率密度函式 或者 機率質量函式(A's probability density function or probability mass function)展開成一個或者更多部分的形式,但是保持將均值(期望值)不變。正如此,MPS的意思也就是,根據它們的風險程度,提供了一種等均值機率分布的隨機排序方法。這種排序是偏序的(局部的partial),意味著對於兩個等均值的冒險行為(英文原為gambles),並不一定必要說,一個是另一個的MPS(this ordering is partial, meaning that of two equal-mean gambles, it is not necessarily true that either is a mean-preserving spread of the other). 如果B是A的MPS的話,A可以說是B的均值收縮型。 利用MPS的冒險行為的排序(Ranking gambles by mean-preserving spreads)是二階隨機占優的特殊情況,也就是說,在等均值的特殊情況下,如果B是A的MPS,那么,A是B的二階隨機占優(A is second-order stochastically dominant over B);如果A和B有相同的均值,那么反過來也成立。如果B是A的MPS,那么B具有比A更高的方差,且A和B的期望值是相同的;但是反過來並不一定成立,因為方差是一個完整的排序,而且通過MPS的排序僅僅是局部的(only partial) 。

相關命題

通過均值保留展開型進行的博彩(gamble)的排序是二階隨即占優的一個特例,有以下兩個命題

命題1:如果B是A的均值保留展開型,那么A是二階隨即占優B的。如果A與B具有相同的均值,那么上述命題的逆命題也成立。

命題2:如果B是A的均值保留展開型,那么B具有更高的方差,但是這個命題的逆命題不一定成立。因為方差是完全排序而通過均值保留展開則是偏序。

定義

X(A)與X(B)分別是博彩A和B的隨機變數,那么當前僅當X(B)與(X(A)+Z)具有同分布時,則B是A的均值保留展開型,其中Z有E(Z|X(A))=0的性質。

另一種寫法:

如果x(A)和x(B)是與冒險行為A和冒險行為B(gambles A and B)有關的隨機變數。如果x(B)與(x(A)+z)同分布,任意z滿足E(z|x(A))=0,那么B是A的MPS。

MPS還可以定義為累積分布函式FA和FB。如果A和B等均值,B是A的MPS,若且唯若F(A)以下的區域從負無窮到x,小於或等於F(A)以下的區域從負無窮到x,對於任意的實數x,在一些x嚴格不一樣。

這兩個數學定義可以拓展到同均值情況下的二階隨機占優。

示例

1 、 A的每一個結果A(ai)是具有相等的機率1/100,當i=1~50時,A(ai)=198;當i=51~100時,A(ai)= 202;

B的每一個結果B(ai)是具有相等的機率1/100,當i=1時, B(a1)=100; 當i=2~99時 ,B(ai)=200; 當i=100時,B(ai)=300.

由此可知E(A)=E(B).這種變化即可稱為均值保留展開型。

B是從A變形而來,將A中1%的數字,即從198變為100,把49%的數字,即將49個198變為200,再將1個202變為300,另外49個202變為200。這兩個MPS的的過程,是它自己的MPS,儘管98%的機率密度都移動到了均值(200)。

2、如右圖所示,對圖(a)所展示的密度函式進行均值保留,得到(b)的形狀。兩個分布具有相同的均值,但是圖(b)中,對於遠離均值的產出賦予更大的權重。

示例2 示例2

相較關係

與期望效用理論的關係

如果B是A的MPS,那么A將是具有凹函式效用的效用最大化者的首選。反過來也成立,如果A和B有同均值,A是具有凹函式效用的效用最大化者的首選,那么B是A的MPS 。

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