拉普拉斯運算元
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在數學以及物理中, 拉普拉斯運算元或是 拉普拉斯算符(英語: Laplace operator, Laplacian)是由歐幾里得空間中的一個函式的梯度的散度給出的微分運算元,通常寫成、 或。
這名字是為了紀念法國數學家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯(1749–1827)而命名的。他在研究天體力學在數學中首次套用運算元,當它被施加到一個給定的重力位(Gravitational potential)的時候,其中所述運算元給出的質量密度的常數倍。經拉普拉斯運算元運算為零∆f=0的函式稱為調和函式,現在稱為拉普拉斯方程,和代表了在自由空間中的可能的重力場。
拉普拉斯運算元有許多用途,此外也是橢圓運算元中的一個重要例子。
拉普拉斯運算元出現描述許多物理現象的微分方程里。例如,常用於波方程的數學模型、熱傳導方程、流體力學以及亥姆霍茲方程。在靜電學中,拉普拉斯方程和泊松方程的套用隨處可見。在量子力學中,其代表薛丁格方程式中的動能項。
拉普拉斯運算元是最簡單的橢圓運算元,並且拉普拉斯運算元是霍奇理論的核心,並且是德拉姆上同調的結果。在圖像處理和計算機視覺中,拉普拉斯運算元已經被用於諸如斑點檢測和邊緣檢測等的各種任務。
定義
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拉普拉斯運算元是 n維歐幾里得空間中的一個二階微分運算元,其定義為對函式先作梯度運算()後,再作散度運算()的結果。因此如果是二階可微的實函式,則的拉普拉斯運算元定義為:
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的拉普拉斯運算元也是笛卡兒坐標系中的所有非混合二階偏導數:
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作為一個二階微分運算元,對於 k≥ 2,拉普拉斯運算元把 C函式映射到 C函式。表達式定義了一個運算元Δ: C( R)→ C( R),或更一般地,定義了一個運算元Δ: C(Ω)→ C(Ω),對於任何開集Ω。
函式的拉普拉斯運算元也是該函式的海森矩陣的跡:
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坐標表示式
二維空間
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其中 x與 y代表x-y平面上的笛卡兒坐標
另外極坐標的表示法為:
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三維空間
笛卡兒坐標系下的表示法
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圓柱坐標系下的表示法
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球坐標系下的表示法
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N維空間
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在參數方程為(其中以及)的N 維球坐標系中,拉普拉斯運算元為:
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其中是維球面上的拉普拉斯-貝爾特拉米運算元。我們也可以把的項寫成。
推廣
複雜空間上的實值函式
拉普拉斯運算元可以用一定的方法推廣到非歐幾里得空間,這時它就有可能是橢圓型運算元,雙曲型運算元,或超雙曲型運算元。
在閔可夫斯基空間中,拉普拉斯運算元變為達朗貝爾運算元:
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達朗貝爾運算元通常用來表達克萊因-戈爾登方程以及四維波動方程。第四個項前面的符號是負號,而在歐幾里德空間中則是正號。因子 c是需要的,這是因為時間和空間通常用不同的單位來衡量;如果 x方向用寸來衡量, y方向用厘米來衡量,也需要一個類似的因子。
值域為複雜空間
向量值函式的拉普拉斯運算元
拉普拉斯運算元作用在向量值函式上,其結果被定義為一個向量,這個向量的各個分量分別為向量值函式各個分量的拉普拉斯,即
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更一般地,對沒有坐標的向量,我們用下面的方式定義(受向量恆等式的啟發):
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,也可用類似於拉普拉斯-德拉姆運算元的方式定義,然後證明“旋度的旋度”向量恆等式.
拉普拉斯-貝爾特拉米運算元
主條目:拉普拉斯-貝爾特拉米運算元和拉普拉斯-德拉姆運算元
拉普拉斯運算元也可以推廣為定義在黎曼流形上的橢圓型運算元,稱為 拉普拉斯-貝爾特拉米運算元。達朗貝爾運算元則推廣為偽黎曼流形上的雙曲型運算元。拉普拉斯–貝爾特拉米運算元還可以推廣為運行於張量場上的運算元(也稱為拉普拉斯–貝爾特拉米運算元)。
另外一種把拉普拉斯運算元推廣到偽黎曼流形的方法,是通過 拉普拉斯–德拉姆運算元,它作用在微分形式上。這便可以通過外森比克恆等式來與拉普拉斯–貝爾特拉米運算元聯繫起來。