嚴格蘊涵

嚴格蘊涵(strict implication)是蘊涵的一種，用於模態邏輯。它最初由英國邏輯學家麥柯爾(H.MacColl)提出，美國哲學家、邏輯學家劉易斯劉易斯(C.I.Lewis)在創立現代模態邏輯時使用了這種蘊涵。嚴格蘊涵用魚鉤符號“⊰”表示，它可以由模態運算元◇(稱為“可能運算元”，◇p意為“p是可能的”)或□(稱為“必然運算元”，□p意為“p是必然的”)以及真值聯結詞來定義。在劉易斯的模態邏輯系統中，A⊰B(讀作“A嚴格蘊涵B”)被定義為¬◇(A∧¬B)(讀作“‘A真且B假’是不可能的”)。A⊰B也可以被等價地定義為□(A→B)(讀作“‘A實質蘊涵B’是必然的”)。“A實質蘊涵B”只意味著“A真而B假”，這個命題是假命題。當命題A與命題B之間存在某種必然聯繫時，即A真而B假為不可能時，稱A“嚴格蘊涵”B。日常語言中的“蘊涵”所指的就是嚴格蘊涵 。

基本介紹

針對問題

在命題邏輯中，我們將“如果 P那么 Q”符號為“ P→ Q”。“ P→ Q”叫做“ 實質 蘊涵”。實質蘊涵的邏輯性質完全由“→”的特徵真值表決定。一個明顯的事實是，“→”與日常語言的“如果…那么…”的含義並不完全相同，有時相去甚遠。例如：

(1)李白是詩人→2+2=4

是一個真命題，既然它的前件和後件都是真的。但是

(2)如果李白是詩人，那么2+2=4

在日常語言中則是一個假命題甚至是無意義的。這是因為日常語言中的蘊涵命題的真值不僅取決於前件和後件的真值，而且取決於前件和後件之間的關係。具體地說， 僅當前 件和後件之間具有某種必然聯繫時，日常語言中的蘊涵命題才為真。命題(2)之所以常常被人們看作假的，就是因為它的前件和後件之間沒有必然聯繫。

嚴格蘊涵的定義

模態命題邏輯的一個重要目標是要較好地反映日常語言的蘊涵命題。為了做到這一點，模態命題邏輯提出一種不同於實質蘊涵的蘊涵關係，即“ 嚴格蘊涵”，其定義是：

P嚴格蘊涵Q，若且唯若，P→Q是必然的。

性質及舉例

從這個定義我們可以看出，嚴格蘊涵命題比實質蘊涵命題斷定得更多更強。因此，如果一個命題作為嚴格蘊涵命題是真的，那么，該命題作為實質蘊涵命題也是真的；換言之，如果一個命題作為實質蘊涵命題是假的，那么，該命題作為嚴格蘊涵命題也是假的，請注意，此論斷的逆論斷不成立。我們考察幾個具體的例子。

(3)如果3被2整除，那么9被2整除。

(4)如果美國有核武器，那么美國立即發動第三次世界大戰。

(3)作為嚴格蘊涵命題是真的。因為它的前件和後件之間的蘊涵關係具有必然性；(3)作為實質蘊涵命題也是真的，既然它的前件是假的。(4)作為實質蘊涵命題是假的，因為(4)的前件真而後件假；同時，(4)的前件真而後件假這一事實足以表明(4)的前件和後件之間沒有必然聯繫，因而(4)作為嚴格蘊涵命題也是假的。

(5)如果太陽從東邊升起，那么雪是白的。

(6)如果太陽從東邊升起，那么早晨東方先亮。

(5)和(6)的前件和後件都是真的，因而它們作為實質蘊涵命題都是真的；但是，作為嚴格蘊涵命題，只有(6)是真的，而(5)是假的，既然(5)的前件和後件之間沒有必然聯繫。

總之，如果一個蘊涵命題的前件真而後件假，那么該命題無論作為實質蘊涵命題還作為嚴格蘊涵命題都是假的。如果一個蘊涵命題並非前件真而後件假，那么該命題作為實質蘊涵命題是真的；但作為嚴格蘊涵命題則可能真也可能假，這取決於前件和後件之間有無必然聯繫：若有則真，若無則假。應該說，比起實質蘊涵命題，嚴格蘊涵命題更接近於日常語言的蘊涵命題   。

起源及相關研究

麥柯爾(H.MacColl)早在1880年就提出了適合於刻畫嚴格條件句的新蘊涵詞，並採用符號“：”來表示，它的解釋是“如果在它前面的那個命題是真的，那么，在它後面的那個命題必然是真的”。這就是後來所說的 嚴格蘊涵。麥柯爾在1903年的論文《符號推理》中，更明確說明了他的新蘊涵(：)與舊蘊涵詞(