定義
商映射
商映射
商映射設X，Y是兩個拓撲空間，映射 稱為商映射，如果它是連續的滿映射，並且對每個 ，若 是X的開集，則B是Y的開集。
商映射實際上容易看出，商映射即是滿足下列兩個(等價的)條件之一的滿映射
商映射
商映射 商映射(1) 是開集 是X的開集；
商映射 商映射
商映射(2) 是閉集 是X的閉集。
相關定理
商映射
商映射 商映射
商映射定理 1 若 是商映射，則 連續 連續。
商映射證明： ：顯然成立。
商映射
商映射
商映射
商映射 商映射
商映射 商映射：設 。 連續，對Z中任一開集V， 是X中開集，由於 是商映射，故 是Y中開集，可見 是連續的。
商映射
商映射定理 設 是一個映射， 表示自然映射。則
圖一
商映射
商映射
商映射 商映射
商映射(1)存在唯一的映射 使得 ，且 是單射，即圖一可交換, 叫 的誘導映射；
商映射 商映射 商映射(2) 是滿射 是滿射；
商映射 商映射 商映射(3) 連續 連續。
商映射
商映射
商映射
商映射
商映射
商映射 商映射
商映射定理2 沒X，Y是兩個拓撲空間，～和～’分別為X和Y上的等價關係， 是一個連續映射，且保持關係，即 ， ，則存在一個連續映射 使得圖二是個交換圖(其中 和 均表示自然映射)，並且當 是商映射時， 也是商映射。
商映射
商映射
商映射定理3 (J．H．C．Whitehead 1948) 設是商映射，Z是一個局部緊緻的Hausdorff空間， 表示恆同映射，則 也是商映射。
圖二 商映射定理4 設 是商映射，並且X是局部連通的，則Y也是局部連通的。
常用命題
關於商映射，有如下一些基本而常用的命題。
商映射命題1 開的(或閉的)連續滿映射 是商映射。
但是這個命題的逆命題並不成立。
商映射 商映射命題2 如果X是緊緻的，Y是 空間，則連續滿映射 是商映射。
商映射證明 只需證明f是閉映射即可，對於x中任一閉子集F，由於X是緊空間，故F是緊子集，從而f(F)是Y的緊子集，由於Y是 空間，故f(F)是閉的，因此f是閉映射。
命題3 商映射的複合映射仍然是商映射。
商映射
商映射命題4 若 是商映射．則商空間 與Y同胚。
舉例
商映射
商映射例1 在由正方形粘出圓柱面，環面 , 帶，Klein瓶及射影平面的例子中，對應的粘合映射就是相應的商映射。
例2 將三角形兩邊同向地粘接得到什麼空問?
商映射 商映射通過圖三，四可以看出，適當改變粘合順序，我們可知所得也是 帶：先沿b剪開，再粘合a，最後粘合b，即得到 帶。
圖三
圖四