哥德巴赫猜想學

哥德巴赫猜想學

這個問題是德國數學家哥德巴赫(C.Goldbach,1690-1764)於1742年6月7日在給大數學家歐拉的信中提出的,所以被稱作哥德巴赫猜想。

猜想起源

這個問題是德國數學家哥德這個問題是德國數學家哥德巴赫(C.Goldbach,1690-1764)於1742年6月7日在給大數學家歐拉的信中提出的,所以被稱作哥德巴赫猜想。同年6月30日,歐拉在回信中認為這個猜想可能是真的,但他無法證明。從此,這道數學難題引起了幾乎所有數學家的注意。哥德巴赫猜想由此成為數學皇冠上一顆可望不可及的“明珠”。“用當代語言來敘述,哥德巴赫猜想有兩個內容,第一部分叫做奇數的猜想,第二部分叫做偶數的猜想。奇數的猜想指出,任何一個大於等於7的奇數都是三個素數的和。偶數的猜想是說,大於等於4的偶數一定是兩個素數的和。”(引自《哥德巴赫猜想與潘承洞》)

哥德巴赫猜想,要證明它卻著實不易,成為數學中一個著名的難題。18、19世紀,所有的數論專家對這個猜想的證明都沒有作出實質性的推進,直到20世紀才有所突破。直接證明哥德巴赫猜想不行,人們採取了“迂迴戰術”,就是先考慮把偶數表為兩數之和,而每一個數又是若干素數之積。如果把命題"每一個大偶數可以表示成為一個素因子個數不超過a個的數與另一個素因子不超過b個的數之和"記作"a+b",那么哥氏猜想就是要證明"1+1"成立。

發展歷史

1900年,20世紀最偉大的數學家希爾伯特,在國際數學會議上把“哥德巴赫猜想”列為23個數學難題之一。此後,20世紀的數學家們在世界範圍內“聯手”進攻“哥德巴赫猜想”堡壘,終於取得了輝煌的成果。

到了20世紀20年代,有人開始向它靠近。1920年,挪威數學家布爵用一種古老的篩選法證明,得出了一個結論:每一個比6大的偶數都可以表示為(9+9)。這種縮小包圍圈的辦法很管用,科學家們於是從(9十 9)開始,逐步減少每個數里所含質數因子的個數,直到最後使每個數里都是一個質數為止,這樣就證明了“哥德巴赫猜想”。

1920年,挪威的布朗(Brun)證明了 “9+9 ”。
1924年,德國的拉特馬赫(Rademacher)證明了“7+7 ”。
1932年,英國的埃斯特曼(Estermann)證明了 “6+6 ”。
1937年,義大利的蕾西(Ricei)先後證明了“5+7 ”, “4+9 ”, “3+15 ”和“2+366 ”。
1938年,蘇聯的布赫 夕太勃(Byxwrao)證明了“5+5 ”。
1940年,蘇聯的布赫 夕太勃(Byxwrao)證明了 “4+4 ”。
1948年,匈牙利的瑞尼(Renyi)證明了“1+c ”,其中c是一很大的自然數。
1956年,中國的王元證明了 “3+4 ”。
1957年,中國的王元先後證明了 “3+3 ”和 “2+3 ”。
1962年,中國的潘承洞和蘇聯的巴爾巴恩(BapoaH)證明了 “1+5 ”, 中國的王元證明了“1+4 ”。
1965年,蘇聯的布赫 夕太勃(Byxwrao)和小維諾格拉多夫(BHHopappB),及 義大利的朋比利(Bombieri)證明了“1+3 ”。
1966年,中國的陳景潤證明了 “1+2 ”[用通俗的話說,就是大偶數=素數+素數*素數或大偶數=素數+素數(註:組成大偶數的素數不可能是偶素數,只能是奇素數。因為在素數中只有一個偶素數,那就是2。)]。
其中“s + t ”問題是指: s個質數的乘積 與t個質數的乘積之和

方法簡述

20世紀的數學家們研究哥德巴赫猜想所採用的主要方法,是篩法、圓法、密率法和三角和法等等高深的數學方法。解決這個猜想的思路,就像“縮小包圍圈”一樣,逐步逼近最後的結果。

由於陳景潤的貢獻,人類距離哥德巴赫猜想的最後結果“1+1”僅有一步之遙了。但為了實現這最後的一步,也許還要歷經一個漫長的探索過程。有許多數學家認為,要想證明“1+1”,必須通過創造新的數學方法,以往的路很可能都是走不通的。

還有種說法是:
1+1=2是可以證明的,當然這不是所謂的歌德巴赫猜想,

證明1+1=2要用到皮亞諾公理

【皮亞諾公理】

皮亞諾(Peano,1858—1932)系義大利數學家,他提出五條自然數的性質,通常把這五條性質叫做自然數的皮亞諾公理。

(1)“1”是自然數;

(2)每一個確定的自然數a,都有一個確定的後繼數a′,a′也是自然數(一個數的後繼數就是緊接在這個數後面的數,例如,1的後繼數是2,2的後繼數是3等等);

(3)如果b、c都是自然數a的後繼數,那么b=c;

(4)1不是任何自然數的後繼數;

(5)任意關於自然數的命題,如果證明了它對自然數1是對的,又假定它對自然數n為真時,可以證明它對n′也真,那么,命題對所有自然數都真。

證明:
1+1的後繼數是1的後繼數的後繼數,既是3

2的後繼數是3

根據皮亞諾公理(4)

可得:1+1=2

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