簡介
可數選擇公理,指示為 AC,是公理化集合論的類似於選擇公理的一個公理。它聲稱非空集合的任何可數蒐集都一定有選擇函式。保羅·寇恩證明了AC在Zermelo-Fraenkel集合論(ZF)中是不可證明的。
ZF + AC足夠證明可數多可數集合的並集是可數的。它還足夠證明所有無限集合都是戴德金無限的(等價的說:有可數無限的真子集)。AC對於開發數學分析特別有用,這裡的很多結果依賴於實數的可數集合有選擇函式(考慮為有理數的柯西序列的集合)。
AC是弱形式的選擇公理(AC),它聲稱非空集合的“所有”蒐集一定有一個選擇函式。AC明確的蘊涵了依賴選擇公理(DC),而DC足夠證明AC。但是AC要嚴格弱於DC(而DC嚴格弱於AC)。
用法
作為套用AC的例子,下面是所有無限集合是戴德金無限的一個證明(在ZF+AC中):
設X是無限的。對於每個自然數n,設A是X的所有2-元素子集的集合。因為X是無限的,每個A是非空的。對序列A套用AC,便得到了序列(B:n=0,1,2,3,...),這裡的每個B是有2個元素的X的子集。
集合B可能是相交的,但是我們可以定義
C=B
C= 是B與所有C的並集的差集,j
明顯的每個集合C都有至少1個和至多2個元素,而集合C是兩兩不相交的。再對序列C套用AC,便得到了序列 (c:n=0,1,2,...),其中c∈C。
所以所有c都是相異的,而X包含一個可數集合。定義把每個c映射到c的函式f(並固定所有X的其他元素),f是從X到X的一一映射,它不是滿射,這證明了X是戴德金無限的。
選擇公理
選擇公理(英語: Axiom of Choice,縮寫 AC)是數學中的一條集合論公理。這條公理聲明,對所有非空指標集族,總存在一個索引族,對每一個 ,均有 。選擇公理最早於1904年,由恩斯特·策梅洛為證明良序定理而公式化完成。
非正式地說,選擇公理聲明:給定一些盒子(可以是無限個),每個盒子中都含有至少一個小球,那么可以作出這樣一種選擇,使得可從每個盒子中恰好選出一個小球。在很多情況下這樣的選擇可不藉助選擇公理;尤其是在“盒子個數有限”和“存在具體的選擇規則”(當每個盒子都恰好只有一個小球具有某項特徵)這兩種情況下。再舉一個例子,假設有許多(甚至是無限)雙鞋子,則我們可以選取每雙鞋左邊的鞋子構成一個具體的選擇。然而,假設有無限雙襪子(假設每雙襪子都沒有可區分的特徵),在這種情況下,有效的選擇只能通過選擇公理得到。
儘管曾具有爭議性,選擇公理現在已被大多數數學家毫無保留地使用著,例如帶有選擇公理的策梅洛-弗蘭克爾集合論(ZFC)。數學家們使用選擇公理的原因是,有許多被普遍接受的數學定理,比如是吉洪諾夫定理,都需要選擇公理來證明。現代的集合論學家也研究與選擇公理相矛盾的公理,例如決定公理。
在一些構造性數學的理論中會避免選擇公理的使用,不過也有的將選擇公理包括在內。