概念
可微映射度(degree of differential map)是重要的同倫不變數。設(M，ω)，(N，θ)均為緊緻無邊有向n維微分流形，N是連通的，f：M→N是可微映射。若p∈M是f的正則點，記：
可微映射度則：
可微映射度其中q∈N是f的正則值。若f (q)=∅，則deg(f，q)=0.於是，deg(f，q)與正則值q∈N的選取無關，因此可記deg(f)=deg(f，q)，並稱它為可微映射f的映射度，它與f(看做連續映射)的布勞威爾度一致。直觀上說，f：M→N的映射度表示f把M“覆蓋”N的次數。映射度在代數拓撲、微分拓撲中有廣泛套用，例如，證明布勞威爾不動點定理、代數基本定理等。映射度的一個主要性質是：若f光滑同倫於g：M→N，則deg(f)=deg(g).一般地，若f：M→N為連續映射，則存在與f同倫的C映射g：M→N.取q∈N是g的正則值，定義deg(f)=deg(g，q)，它與g，q的選取無關。
注意，若M，N不是可定向流形，f：M→N為連續映射，則取與f同倫的C映射h：M→N，對於h的正則值q∈N，記deg(h，q)為h(q)M中點的個數的模2剩餘類，它與h，q的選取無關，於是，稱deg(f)=deg(h，q)為f的模2映射度。下述霍普夫定理表明映射度在映射的同倫分類上的本質意義。若M是緊緻連通的n維(無邊)微分流形，n≥1，f，g：M→S為連續映射，則：
1.若M是有向的，則fgdeg(f)=deg(g)。
2.若M是不可定向的，則fgdeg(f)=deg(g)。
同倫
同倫論是拓撲學的重要概念。應該指出，映射的同倫關係是從拓撲空間X到Y的所有連續映射所成集合上的一個 等價關係，它將這些映射分成一些等價類，稱每個等價類為一個同倫類。研究映射的同倫分類問題是同倫論的基本內容之一。
代數拓撲學中研究與連續映射的連續形變有關的各種課題，是代數拓撲學的一個主要組成部分。同倫概念的直觀解釋就是連續變形，以此為基礎定義的基本群被稱為同倫群。最早論及同倫群的是法國數學家龐加萊，他於1895年引進的復形基本群被稱為第一同倫群。1912年荷蘭數學家布勞威爾引入同維流形之間映射的度以研究同倫分類，開創不動點理論。20世紀20年代德國數學家霍普夫探討了球面同倫理論。20世紀30年代波蘭數學家胡雷維奇建立了群的同倫理論，引進拓撲空間的n維同倫群。另一位波蘭數學家博蘇克於1936年定義了從拓撲空間到n維球面的映射類的和，由此得到博蘇克上同倫群。20世紀40年代原蘇聯數學家龐特里亞金給出從(n+k)維球到n維球的映射同倫分類，被稱為龐特里亞金類。20世紀50年代初，法國數學家塞爾提出了研究同倫群的新方法，利用纖維化的譜序列，取得了球面同倫群計算的突破性進展。20世紀50年代末英國數學家J.F.亞當斯提出新的譜序列，成為研究同倫論的重要工具。20世紀60年代初廣義同調論的發展使同調的問題可以轉化為同倫的問題，從此代數拓撲學的這兩個主要分支統一起來，共同獲得重大發展。
布勞威爾度
布勞威爾度是對有限維空間中的連續映射建立的拓撲度。設X是有限維(實)賦范線性空間，Ω是X中的有界開集，f：Ω-→X是連續映射，p∈X\f(∂ Ω).那么可定義一個整數，記為deg(f，Ω，p)，稱之為f在Ω上對點p的拓撲度.它具有下述基本性質：
1.標準性。當p∈Ω時，deg(I，Ω，p)=1，其中I為X上的恆同映射。
2.區域可加性。若Ω，Ω是Ω的不交開子集，p∈X\f(Ω-\(Ω∪Ω))，則
deg(f，Ω，p)=deg(f，Ω，p)+deg(f，Ω，p)。
3.雙同倫不變性。若h：Ω-×[0，1]→X連續及θ：[0，1]→X連續，且θ(t)∉h(∂ Ω)(ᗄt∈[0，1])，其中h(·)=h(·，t)，則deg(h，Ω，θ(t))與t∈[0，1]無關。
布勞威爾度具有惟一性，即對於有限維空間中的連續映射而言，具有上述三性質的整值函式deg是惟一確定的。
性質3等價於下述兩性質4和5：
4.同倫不變性。若h：Ω-×[0，1]→X連續，且p∉h(∂ Ω)(ᗄt∈[0，1])，則deg(h，Ω，p)與t無關。
5.平移不變性。若f：Ω-→X連續，p∉f(∂Ω)，令g(x)=f(x)-p，則deg(f，Ω，p)=deg(g，Ω，0)。
微分流形
設M是仿緊豪斯道夫 (Hau-sdorff)空間，且是拓撲流形，稱A= {(U，Ф)|α∈P}是它的地圖，如果{U|α∈P}是M的開覆蓋，Ф是從U到n維歐氏空間R的某開集上的同胚。(U，Φ)稱為坐標卡。如果兩個坐標卡 (U，Ф)，(Uβ，Φ) 滿足U∩U≠Φ，則稱Φ·Ф：Φ(U∩U) →Φ(U∩U) 和Φ·Φ： Φβ(U∩U) →Ф(U∩U) 為U∩U上的坐標變換。如果A的所有坐標變換都是C可微的，則稱A為一個C地圖，其中1≤r≤∞。r也可等於ω，此時A稱為解析地圖。拓撲流形M的坐標卡 (U，Φ) 稱為與A是Cr相容的，如果任意(U，Φ) ∈A，坐標變換Φ·ΦΦ·Φ均C可微。拓撲流形M的C地圖A稱為最大的，如果它包含M的所有與之C相容的坐標卡。M上的最大C地圖A稱為M的C微分結構。(M，A)稱為C微分流形，或簡稱為C流形。當r=∞時，C微分結構也稱為光滑結構，C流形也稱為光滑流形。r=ω時，C結構也稱為解析結構，C流形稱為解析流形。C流形(M，A)有時也簡記為M。
從直觀上看，拓撲流形是局部歐氏空間，局部之間用同胚映射(坐標變換)貼上在一起。n維C流形，不僅局部同胚於n維歐氏空間，而且局部之間是用C光滑、且其逆也C光滑的坐標變換貼上在一起。
兩個C流形M和N，f：M→N是連續映射，且任一點P∈M，有包含P點的M中的坐標卡(U，Φ)以及包含f(P)的N中的坐標卡(V，)，使得f(U)⊂V，同時，映射°f°Φ：Φ(U)→(V)是C光滑的(1≤r≤∞或r=ω)，則稱f是C映射。C映射也稱為光滑映射，C映射也稱為解析映射。其中稱為f的局部表示。
C流形M和N之間的同胚f：M→N，如果f和f均是C映射，則稱f是C微分同胚。
