反射變換定義
定義1
1.平面上的反射變換
設l為平面上一直線，將平面上任一點P變換到關於l與它對稱的點P'的變換，叫做平面上關於直線l的反射變換；
設A為平面上一點，將平面上任一點P變換到關於點A與P對稱點p'的變換，叫做平面上關於點A的反射變換。
2.空間中的反射變換
反射變換 反射變換 反射變換設 為空間中一平面，將空間任一點P變換到關於平面 與P對稱的點P'的變換，稱做空間關於平面 的反射變換。
設A為空間中一點，將空間任一點P變換到關於點A與P對稱的點P'的變換，叫做空間關於點A的反射變換 。
定義2
反射變換
反射變換 反射變換我們通常稱集合A到自身的映射f是集合A上的 變換，即 。若 是一一映射，則稱 是集合A上的一一變換。
反射變換 反射變換
反射變換 反射變換設 是平面上的定直線，S是平面上的變換，P、P'是一對對應點。如果線段PP'被直線 垂直平分，那么稱S為 反射變換(symmetric transformation)，簡記為 ， 為反射軸 。
圖1 反射變換
反射變換有時，記點P到 的距離為 。
由此可知，反射變換由反射軸或一對對應點確定。
在反射變換S(l)下，點P變換為點P'，圖形F變換為圖形F'，這可表示為
反射變換或記為
反射變換反射變換的主要性質
反射變換
反射變換性質1 反射變換下兩點之間距離不變，即對於任意兩點P、Q， ，則1 (圖3)。
圖3
反射變換性質2 反射變換下兩直線的夾角不變，即 ，則∠RPQ=∠R'P'Q'。
說明 性質1和性質2分別揭示了反射變換的保距性和保角性，並由此可以得到:任一圖形F，經反射變換後得到F'，則F與F'全等。
顯然，我們有
反射變換 反射變換性質3 在反射變換 下，反射軸 是不動點的集合，垂直於反射軸的直線是不變直線。
反射變換 反射變換性質4 設O為反射軸 上一點,P、P’是一對對應點，則∠POP'被 所平分。
反射變換有時又稱為 軸對稱變換，如果一個圖形F在軸對稱變換下的對應圖形是F' ，那么稱F'是F的軸對稱圖形，它們是互為軸對稱圖形，又若F=F'，則稱圖形F為軸對稱變換下的自對稱圖形，如圖2(2) 。
反射變換集合上的運算
反射變換可以組成集合，我們在這樣的集合中定義“乘法運算”，即運算“ ”：
反射變換
反射變換
反射變換 反射變換 反射變換
反射變換
反射變換 反射變換 反射變換設兩個反射變換 ，若一個點P(或一個圖形F)在反射變換 下為點P'(或圖形F')，而點P'(或圖形F')在反射變換 下為點P”(或圖形F”)，則稱點P(或圖形F)在反射變換 與 的乘積變換下為點P''(或圖形F")，簡記為 ，而變換 稱為 與 的乘積變換 。
