控制器及參數不確定分數階系統穩定域分析
針一對參數不確定時滯系統，提出了採用分數階 PI D 控制器求其系統穩定域的算法。利用Kharitonov理論，將參數不確定時滯系統分解成若干個參數確定的子系統，並求各個子系統的閉環其準特徵多項式;然後採用 D分解法，求取各個準特徵多項式在獲得最大穩定域時的分數階 PI D及 PI D 控制器參數入和 μ。以此參數入和趙值重新構建分數階 PI D 控制器，並計算各個子系統的穩定域，各個子系統穩定域的交集，即為參數不確定時滯系統的穩定域。通過數值和圖像結果表明:所提出的穩定域算法對分析和設計 PI D 複雜的參數不確定時滯分數階控制系統較為簡單且行之有效。且算法可為參數不確定時滯系統獲得分數階屍尹J少控制器的穩定域，即參數域。將為後續使用最最佳化方法設計分數階 PI D 控制器時，提供了參數搜尋的尋找範圍，縮短了參數尋優時間和計算量，從而提高了分數階 PI D 控制器的設計效率。
參數不確定時滯系統
在一般情況下，工業控制過程中系統模型的參數往往存在著不確定性，為此在設計具有穩定性和魯棒性的控制系統時，須考慮參數的不確定性。在工業控制過程中，絕大多數系統可用時滯系統近似。其中 r( t)為系統輸入， e( t)為誤差信號， u( t)為控制信號和 y(t)為系統輸出， C( s)為分數階 PI D 控制器傳遞函式， G( s)為廣義的參數不確定時滯系統，它既可以是參數不確定整數階時滯系統又可以是參數不確定分數階時滯系統。
參數不確定分數階系統
一般情況下，工業控制過程中大多數系統的模型都含有不確定因素。對參數不確定分數階系統，除了其參數具有不確定性外，控制對象的階次也可能是區間值，即系統的階次在分數階建模或數值擬合時，其階次也可能存在一定的不確定性。
分數階參數不確定系統數學模型是具有任意實數階的傳遞函式(即傳遞函式的階次可以是整數階也可以是分數階)，且傳遞函式的參數和階次可以是不確定性參數或確定性參數。
分數階參數不確定系統屍戶控制器設計策略
對單位負反饋控制系統，目的是求出分數階參數不確定線性被控對象族 C( s)在分數階屍戶控制器的控制下的穩定域，以此設計分數階 PI D 控制器的參數。
對於參數不確定線性分數階控制系統，現行的對於整數階動態系統的穩定性檢測方法，如Routh表，已經不能直接用來測試分數階線性系統的穩定性。通常來說，這主要是分數階線性系統的特徵多項式不是一個標準的多項式，而是一個復變數。的分數階次冪的準特徵多項式。然而，由於它是復變數函式的特徵方程，依據於已有的穩定性測試方法還是可以用的，但要進行改進。另外，Matigon依據於特徵方程的根，採用幾何方法檢測了分數階系統的穩定性。
選擇在獲得比較大或滿足性能要求時的久值，作為分數階屍戶控制器的階次參數，求各個子系統的穩定域。把各個子系統穩定域都畫在同一( k， k)平面上，各個子系統穩定域的交集便為線性時不變分數階系統的穩定域，即分數階屍尹控制器的參數域，在此參數域內選取分數階 PI D 控制器的 k和 k參數，則可獲得所設計一的控制器。但是，所設計的控制器能否對具有參數和階次不確定的線性時不變分數階系統 G( s)族具有穩定性，則需要證明。因此，現通過以下的定理予以證明。
分數階參數不確定系統PIλ控制器
利用求解分數階參數不確定系統穩定域的方法，設計了使分數階參數不確定系統具有魯棒性的分數階PI 控制器。首先採用Kharitonov理論，將分數階參數不確定系統分解成若干個參數確定的子系統，然後用D分解方法分別求出在PI 控制器的控制下，使各個子系統都取得較大穩定域的參數λ值。再採用此λ值構建PI 控制器並計算各個子系統的穩定域。各個子系統穩定域的交集即為參數不確定系統在PI 控制器控制下的穩定域。同時證明了所構建的PI 控制器能穩定整個參數不確定系統組。最後在穩定域內取控制器參數值，便構成了所設計的PI 控制器。採用實例對此設計方法進行驗證，並用所構建的PI 控制器對參數不確定系統組的各個子系統進行階躍回響分析，結果表明PI 控制器對參數不確定系統具有較強的魯棒性。
整數階PI控制器的穩定域
分數階PI 控制器設計的目的是在分數階PI 控制器的控制下求取參數不確定系統的穩定域，進而獲得分數階PI 控制器的參數集，並使得分數階PI 控制器在參數集內取值對於8個參數確定的子系統亦穩定。根據方程式，在( k， k平面內可確定出復根邊界曲線(CRB)。由於 s =1，所以實根邊界(RRB) k=0與復根邊界(CRB)可在( k， k平面上構成了系統的穩定性區域。 λ=1是最簡單的情況，此時系統是一個整數階PI控制器。取 λ=1並由方程式，將相應的復根曲線(CRB)和實根直線(RRB)繪製在( k， k)平面內。
從整數階PI控制器的穩定域可以看出，整個參數平面被分成了3個不同的區域，即左上的CRB區域、CRB和RRB之間的區域以及RRB以下的區域。通過文獻中提出的測試方法，在3個區域中任選一點進行測試，發現系統的穩定域為CRB曲線與RRB直線包圍部分。
分數階PI0.8控制器的穩定域
對於分數階PI 控制器，隨著λ的減小，系統的穩定域有逐漸增大的趨勢。當λ=0.8或λ<0.8之後，都能使系統獲得較大的穩定域。因此，取λ=0.8作為分數階PI 控制器的積分因子，即可得到分數階PI 控制器。另外，可根據實際情況和對控制性能的要求，可以在0<λ<0.8的範圍內取值，可以獲得滿足不同控制性能要求的分數階PI 控制器。以PI 控制器分別計算各個子系統穩定域，而各個子系統穩定域的交集就是參數不確定系統的穩定域。
從分數階PI 控制器的穩定域可以看出，用分數階PI 控制器求取的分數階參數不確定系統的穩定域為各個子系統穩定域的交集。即分數階參數不確定系統組的穩定域為 G的復根曲線(CRB)與實根直線(RRB)之間所包圍的部分，它也是分數階PI 控制器的參數集。在此參數集內取值，可確定PI 控制器的參數 k和 k。取 k=10和 k=0.5，採用PI 控制器對名義系統和8個子系統分別進行單位階躍回響分析的結果可見，各個子系統回響曲線都在名義參數系統回響曲線附近波動，且各個子系統很快地趨於穩定，超調量較小，回響時間較短。這表明所設計的分數階PI 控制器對分數階參數不確定系統有較強的魯棒性和穩定性。Gnominal指的是名義參數傳遞函式 G( s)的曲線，即 G( s)取名義參數值為 k=1， a=39.69， b=0.598， L=1.26時的單位階躍曲線。
