卡邁克猜想

眾所周知，費爾馬小定理的逆定理是不成立的，1819年，法國數學家沙路斯首先發現，雖然341整除2^340-1,但是341=11*31，卻是合數。像這樣的數稱為偽素數，已經證明偽素數有無窮多個。（費爾馬小定理是：如果p是素數，a只一個正整數，那么p整除a^p-1)
人們自然會想到，如果n能夠整除一切形如a^(n-1)-1（a與n互素）的數，則n總該是素數了吧？結果並不如此簡單，竟然有這樣的數n,它能整除所有的a^(n-1)-1（a與n互素）。這種極端的偽素數就稱為卡邁克數，因為美國數學家卡邁克首先研究了這種極端偽素數，他發現561能整除一切a^(n-1)-1（a與n互素）的數，但是561=3*11*17，卡邁克還得出了一個判定卡邁克數的定則：
（1）n不包含平方因數
（2) n是奇數，至少含有三個不同的素因數
（3）對於n的每一個素因數，n-1能被p-1整除
例如，8911=7*19*67，顯然滿足條件（1）、（2），7-1=6、19-1=18、67-1=66都能整除8911-1=8910，即滿足條件（3），故8911是卡邁克數。
不超過100000的16個卡邁克數如下：
561，1105，1729，2465，2821，6601，8911，10585，15841，29341，41041，46657，52633，62745，63973，75361。
一直困惑人們的問題是：
（1）如前述，以a為底的偽素數有無窮多，但同時以兩個不同正整數a,b為底的偽素數是否也有無窮多？尚不知曉，甚至連a=2,b=3的特殊情形也沒有解決。
（2）卡邁克數是否有無窮多個？
這就是有關卡邁克數的猜想。