半連續
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半連續如果某個函式 的上圖是閉集，我們稱 為閉函式。閉性與經典的下半連續性的概念有關，函式 是在向量 處下半連續的，如果
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半連續對於每個滿足 的點列 成立，我們稱 是 下半連續的 (lower semicontinuous)，如果它在定義域X的每一點x處都是下半連續的，我們稱 是 上半連續的(upper semicountinous)，如果 是下半連續的，這些定義與針對實函式的相應定義是一致的。
相關性質定理
以下命題將函式的閉性、下半連續性和函式水平集的閉性聯繫起來。見圖1
圖1
半連續
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半連續 半連續圖1 函式上圖和它的水平集關係的示意圖，易見水平集 經過平移後等同於 和“切片” 的交集，這表明 為閉若且唯若所有的水平集為閉。
命題1
半連續
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半連續 半連續 半連續對於函式
，以下各款等價：(i)水平集對每個標量均為閉；
(ii)函式為下半連續的；
(iii)集合為閉。
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半連續 半連續證明： 如果 對所有 成立，那么結果是平凡的，顯然成立。我們假定 對至少一個 成立，這樣 就是非空的，且至少有一個非空的水平集，先來證明(i)蘊含(ii)。假定水平集 對於每個標量 都是閉的，反設
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半連續 半連續對某個 和收斂到 的點列 成立，並且令 為滿足
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半連續下面證明(ii)蘊含(iii)，假定在上為下半連續，並令為點列
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半連續 半連續 半連續的極限，於是我們有 ，進而令 ，由 在 處的下半連續性，我們得到
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半連續 半連續於是， 故 為閉。
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半連續 半連續 半連續最後證明(iii)蘊含(i)。假定
為閉，且令為點列，它收斂到某個且屬於對應於某個標量的水平集，於是對於所有的k成立，並且，因而由於為閉，我們有，故屬於，這意味著這個集合是閉的。
在大部分推導中，我們傾向於採用閉性的概念，而較少用到下半連續性，其中的一個原因是，不同於閉性，下半連續性是一個與定義域有關的性質。例如，由
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半連續定義的函式 既不是閉的也不是下半連續的；但如果把它的定義域限制到(0，1)上，就變成為下半連續。
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半連續 半連續另一方面，如果函式 具有閉的有效定義域且在每個 處均為下半連續，那么 必然是閉的，我們把這個結論敘述為一個命題，其證明可以據命題1證明(ii)蘊含(iii)的過程給出。
命題2
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半連續令
為一函式，如果它的有效定義域是閉的，且在每個處均是下半連續的，那么函式是閉的。舉例來說，集合X的示性函式為閉若且唯若X是閉的(“當”的部分可以根據上述命題得出，而“僅當”的部分可以用上圖的定義導出)，更一般地，如果是形如
半連續
半連續 半連續的函式，其中 為連續函式，那么可以證明 是閉的若且唯若X是閉的。
最後需要指出非真的閉凸函式非常特殊：它不能在任何點上取有限值，因此它具有如下形式
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半連續 半連續 半連續 半連續為明白其中的原因，讓我們來考慮非真的閉凸函式 ，並假定存在著某個x使得 為有限．令 滿足 。(這樣的點必然存在，因為 是非真的並且 不恆等於∞)，因為 是凸的，可知每個點
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半連續都滿足 ，同時有 ，因為 是閉的，這意味著 ，從而導出矛盾，總之， 非真的閉凸函式在任何點都不能取有限值。
性質1
若干個半連續函式，它們的和是一個無處半連續的函式。
性質2
兩個半連續函式，其最小值函式並不半連續。
性質3
一個收斂的上半連續函式序列，其極限函式並不上半連續。
