定義
半素理想
半素理想 半素理想
半素理想
半素理想
半素理想 半素理想 半素理想設是半環的理想，若對於的任意理想，由必推得，則稱為的 半素理想 。
相關概念及定理
半素理想 半素理想命題1設P是半環S的理想，則P是半素理想的充分必要條件是對任意理想A，由必推得，其中n為某個自然數 。
半素理想
半素理想
半素理想定義2設M是半環S的一個子集，若對任意，存在使得，稱M為S的一個n-系統。
半素理想命題3設P是半環S的理想，則P是半素的若且唯若是S的一個n-系統。
定理4設P是半環S的理想，則下列等價：
1) P是半素理想；
半素理想
半素理想
半素理想2) 設，若，則；
半素理想 半素理想3)必推得，其中(a)為由a生成的主理想；
半素理想
半素理想4)必推得，其中R是S的右理想；
半素理想
半素理想5)必推得，其中L是S的左理想。
半素理想
半素理想 半素理想定義5設P是半環S的理想，若對任意，由必推得，稱P為S的 完全半素理想。
半素理想
半素理想易知，若P是半環S的完全半素理想，則由必推得。
定理6設P是半環S的素理想，則P是完全素理想的充分必要條件是P是完全半素理想。
推論7設S是交換半環，則S的素理想、完全素理想與完全半素理想三個概念是一致的。
定理8設N是半環S的理想，則
半素理想1) 若P是S的素理想，則是N的素理想；
半素理想2) 若P是S的半素理想，則是N的半素理想。
半素理想
半素理想
半素理想
半素理想
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半素理想
半素理想證明：1) 記，則M是N的理想。設，若，則，於是，從而或，進而，或，得到或，推得或，這樣或，即M是N 的素理想。
半素理想
半素理想
半素理想
半素理想
半素理想
半素理想
半素理想
半素理想 半素理想 半素理想2) 記，設，若，則，於是，，得，進而，從而，所以，即，故M是N的半素理想。
定義9若{0}是半環S的素(半素)理想，則稱S為素(半素)半環。
定理10設P是半環S的強理想，則下列等價：
1) P是素理想；
半素理想2)是素半環；
半素理想3)中任意兩個非零理想之積非零。
定理11設P是半環S的強理想，則下列等價：
1) P是半素理想；
半素理想2)是半素半環；
半素理想 半素理想
半素理想3) 若是的非零理想，則；
半素理想4)不含非零冪零理想；
半素理想 半素理想5)不含非零冪零單側理想，即是有效半環。
半素理想 半素理想
半素理想
半素理想
半素理想定理10、11中的都是指S關於同餘的商半環，這兩個定理的證明只要注意到的理想(單側理想)的形式是且只是形如，其中，且，就不難了 。
