理論介紹
雖然做得比任何其他的長期策略似乎令人信服的Kelly策略的承諾，一些經濟學家主張極力反對，主要是因為個人的具體投資約束可能覆蓋最優增長率的欲望。傳統的方法是預期效用理論上說應該是大小的賭注最大化這個預期結果（對個人效用對數效用，凱利賭注最大期望效用，所以沒有衝突；此外，凱利的原始檔案，明確規定在賭博遊戲是在有限的時間的情況下實用功能的需要）。即使支持者通常認為分數Kelly Kelly（投注固定部分推薦凱莉量）由於各種現實原因，如希望減少波動，或防止他們利用非確定性誤差（邊緣）的計算。
近年來，凱利已成為主流投資理論的一部分並聲稱已取得成功的投資者，其中包括著名的華倫巴菲特和Bill Gross使用凱利方法威廉龐德斯寫了一個廣泛的帳戶歷史的凱利投注。
聲明
對於簡單的投注與兩個結果，一個涉及失去整個投注金額，和其他涉及中獎投注金額乘以收益賠率賭注是，凱利：
在哪兒
• F*是當前資金下注的分數，即賭多少；
• B淨是幾率收到的賭注（“B1“）；就是說，你可以贏得$ B（上回到你的1美元對1美元的賭注下注）
• P是贏的機率；
• Q是失敗的機率，這是1−P
作為一個例子，如果一場賭博有60%的勝率（ P= 0.60, Q= 0.40), and the gambler receives 1-to-1 odds on a winning bet ( B= 1), then the gambler should bet 20% of his bankroll at each opportunity ( F* = 0.20), in order to maximize the long-run growth rate of the bankroll.
如果你無邊的賭徒，即如果 B= Q/ P，然後標準推薦賭徒投注什麼。
如果邊緣是負的（ B< Q/ P) the formula gives a negative result, indicating that the gambler should take the other side of the bet. For example, in standard American roulette, the bettor is offered an even money payoff (b = 1) on red, when there are 18 red numbers and 20 non-red numbers on the wheel (p = 18/38). The Kelly bet is -1/19, meaning the gambler should bet one-nineteenth of his bankroll that red will 不來了。不幸的是，賭場不允許賭博 反對即將到來的事情，所以凱利賭徒不賭。
在第一部分的頂部是預計淨獎金從1美元的賭注，因為這兩個結果是，你要么贏得$ B與機率 P，或失去1美元的賭注，即贏得$ 1，機率 Q。因此：
for even貨幣（即當賭注 B= 1), the first formula can be simplified to:
Since q = 1-p, this simplifies further to
一個更普遍的問題，投資決策相關的如下：
1。成功的機率
2。如果你成功了，你投資的增加值以
3。如果你失敗的機率是（）你的投資減少的價值以。（註：上述描述假設 A1）
在這種情況下，凱利標準是相對簡單的表達
注意，這降低了原表達的特殊情況（以上）
顯然，為了決定投資至少少量的青睞，你必須
這顯然是沒有什麼比事實上你的預期利潤必須超過投資預期損失任何意義。
一般的結果闡明了為什麼利用（用貸款投資）減少投資的最佳比例，在這種情況下。顯然，無論多么大的成功機率，是的，如果，足夠大，投資的最佳分數為零。因此，使用過多的利潤是不是一個好的投資策略，無論多么好的一個投資者你。
證明
凱利標準的證明是簡單的啟發式。一個象徵性的驗證Python和sympy一個將導數y（x）的對數為Y的期望值（x）0、解決 X：
>>>從sympy進口*>>>X，B，P=符號（“X B P）>>>有=P*日誌（一 B*X） （一—P）*日誌（一—X）>>>解決（diff（有，X），X）【—（一—P—B*P）/B]
for a rigorous and General Proof，see凱利原始論文或下面列出的一些其他參考資料。一些更正已公布。
We give the following non-rigorous argument for the case b = 1 (a 50:50 "even money" bet) to show the general idea and provide some insights.
什麼時候 B= 1, the Kelly bettor bets 2 P1倍的初始財富， W，如上圖所示。如果他贏了，他有2 PW。如果他輸了，他有2（1— P） W。假如他使 n這樣的賭注，贏了 K他們。的輸贏的順序並不重要，他會：
假設另一個賭徒下注金額不同，（2 P- 1一些積極的或消極的）W。。。。。。。嘿，有2P） W勝利後，[ 2（1— P）—] W後虧損。同樣的戰績為凱利賭徒後，他將有：
把這個導數並獲得：
原函式的轉折點發生在這個導數等於零，這發生在：
這意味著：
但：
因此從長遠來看，最終的財富最大化設定為零，這意味著繼Kelly策略。
這說明，凱利有一個確定性和隨機成分。如果一個人知道k和n和願望挑選財富不斷分數每次下注（否則可能作弊，例如，賭零後的K贏得知道投注的休息會失去），一個最終將最多的錢如果一個賭註：
每一次。這是否是真的 n是大還是小。“長期”的一部分，凱利是必要的因為K事先是不知道的，只是， n變大， K將方法 PN。打賭的人超過凱莉可以做的更好，如果 K> PN一段；有人下注少於凱利可以做的更好，如果 K< PN一段，但從長遠來看，凱莉總是贏。
在一般情況下收益為啟發式的證明如下。
在一次試驗中，如果你投資的部分你的資本，如果你的計畫成功了，你的資本在試驗結束的因素增加，和，同樣，如果策略失敗，你有你的資本減少的因素。因此，在結束試驗（與成功和故障），啟動1美元的資本收益率
最大化因此，和，相對於導致預期的結果
為一個更詳細的討論這一公式在一般情況下，看到。在那裡，可以看出替代對“成功”的試驗次數意味著試驗的數量必須非常大的數量的比例，因為被定義為這個比例極限試驗次數趨於無窮大。總之，投注每次將有可能最大化只有在試驗的數量是非常大的財富的增長速度，和和是相同的每個試驗。在實踐中，這是一個反覆玩同樣的遊戲，在贏得和盈利可能性的機率都是一樣的。在上面的啟發式的證明，成功和失敗是很有可能只對非常大
伯努利
在1738條，丹尼爾伯努利表明，當一個人有一個選擇的賭注或投資，應選擇具有最高几何平均結果。這在數學上是等效的凱利標準，雖然動機是完全不同的（伯努利想解決聖彼得堡悖論）
伯努利的文章不是翻譯成英語直到1956年，但工作是著名的數學家和經濟學家。
許多馬
凱利準則可以概括賭博在許多相互排斥的結果，就像賽馬。假設有幾個相互排斥的結果。這k個馬贏得比賽的機率是，總金額的賭注放在k的馬，和
在 哪兒是回報幾率股息率，是哪裡是軌道帶或稅，在軌道的演繹把當k馬贏得收益率。對投注的資金賭馬的分數k。與多個互斥結果賭博凱利標準給出尋找最優算法結果，這是合理的賭注，它尋求最優分數給出了明確的公式對賭徒的財富要賭的結果包括在最佳化設定。對於結果的最優解集的算法包括四個步驟。
預期收益率為所有可能的計算步驟1（或只有幾個最有前途的）結果：
步驟2重新排序的結果使新序列是非增。因此，將最好的賭注
步驟3設定（空集），，。因此，最好的選擇首先要考慮的是
重複步驟4：
如果然後插入k個結果進入設定：，重新計算根據公式：然後設定，
其他設定然後不停的重複
如果最佳化設定有空再也不賭了所有。如果集合最優的結果不為空則最優分數賭個結果可能從這個公式計算：
一個可以證明那
在右手邊的是存款準備金率。因此，要求可能的解釋如下：k個結果包括在集最優的結果若且唯若它的預期收益率大於存款準備金率。的最佳分數的公式可以解釋為k的馬的期望收益率，超額準備金率除以收入扣除後軌道時採取的k個馬勝或為k的馬贏得了準備金率除以收入扣除後軌道時採取的k個馬勝機率多餘的多餘的。二元增長指數
和倍增時間
這對最佳化投注選擇方法可以套用在機率只知道幾個最有希望的結果，而其餘的結局沒有贏的機會。在這種情況下，它必須是和
套用
在股票市場中的套用
考慮一個市場相關概念股隨機返回，與收益債券。投資者提供的一小部分他的資本而其餘部分投資於債券。不失一般性，假設投資者的啟動資金為1。據凱利標準應該最大化
擴大到泰勒系列我們得到的
因此，我們減少的最佳化問題二次規劃和無約束的解決方案
在 哪兒和是指與二混合無心的超額收益矩矩陣向量。也有分數Kelly策略的數值算法和最優解下無槓桿、無賣空限制。
參考
• 破產的風險
• 博弈與信息理論
• proebsting的悖論
