價值函式
value function(有文獻中也用merit function)
反映集合中元素間序關係的函式.設≽是在集合X上的一弱序,且X的無差異類的集X是可測的,則存在一實值函式v∶X→R,使對X中的任何x和y有:x≽y若且唯若v(x)≥v(y),或者x≻y若且唯若v(x)>v(y),以及x~y若且唯若v(x)=v(y).在構造價值函式時,對X中的每個元素設定一相應的v值,它表示該元素排列的次序.i個元素排序的目錄記為L(i).
1.令v(x1)=0,L(1)={1}.
2.設x2≻x1,可令v(x2)=1,並令
L(2)={2,1}.
3.由x3≻x2≻x1,可令v(x3)=2,並令
L(3)={3,2,1}.
4.觀察到x3≻x4≻x2,令
則L(4)={3,4,2,1}.
5.觀察到x5≻x3≻x4,可令v(x5)=3,則
L(5)={5,3,4,2,1}.
6.觀察到x6≻x5≻x3,可令v(x6)=4,則
L(6)={6,5,3,4,2,1}.
7.觀察到x3≻x7≻x4,令
則L(7)={6,5,3,7,4,2,1}.
8.可以類似地繼續排出x8,x9,…,並設定或計算相應的v值.設v為在X上由優先序≽所產生的一價值函式.令V為定義在v(X)上的一嚴格遞增的實值變換(保序變換),即V(v1)>V(v2)若且唯若v1>v2;V(v1)=V(v2)若且唯若v1=v2.這樣,對於任何x,y∈X,有x≽y若且唯若V*(x)≥V*(y),而V*(x)=V(v(x)).令X⊂Rn,≽是在X上的一弱序,再設:
1) 對於任何x,y∈X,x≥y,均有x≻y;
2) 對於任何x,y,z∈X,若x≻y≻z,必有一個
λ∈(0,1), 使y~λx+(1-λ)z,
則存在一定義在X上的實值函式v,適合:x≽y若且唯若v(x)≥v(y);x≻y若且唯若v(x)>v(y).設有一定義在集合Y上的價值函式v,v(y)稱為是可測的若且唯若v反映了在Y中各元素的順序和在Y中的元素之差的順序.
