重變函式理論
圓角函式理論與重變函式理論
——函式理論的創新
彭瑞良
內容提要：圓角函式理論是三角函式理論的進化。
重變函式理論，是總結建立三角函式理論分析方法、建立起來的一種函式理論，是函式理論的一種補充完善，是一種更高層次的全新的數算理論。
0．1、三角函式是在數算理論發展過程中及自然科學發展過程中產生的，三角函式來源於自然科學也服務於自然科學，在天文學、運動學、電磁學、聲學、光學等自然科學中，有著廣泛的用途，發揮著重要的計算工具作用，有效促進了其它科學的發展；三角函式在自然科學的套用中，也促進了三角函式自身的發展，使三角函式內容更豐富、更充實。
但三角函式理論是在數算發展歷史進程中不斷產生形成的，存在局限性、缺乏系統性，有些概念邏輯關係模糊，給初學者增加了學習難度。為了形成系統的、嚴謹的三角函式理論體系，下面對三角函式理論進行一次全面的分析探討，並根據該理論的基本內容，提出“圓角函式”替代“三角函式”，使理論名稱與內容更貼切，同時對三角函式理論進行系統化、合理化，使三角函式理論更完善、更科學，形成系統的“圓角函式”理論。
三角函式的回顧。三角函式的本原是：在直角坐標系中，增設一個角度參數，由角度值與坐標值之間形成的函式關係，即為三角函式。因三角函式的基本內容，是以單位圓和三角形等幾何圖形為基礎，利用平面幾何知識進行分析、推導、總結而建立的函式，因此將“三角函式”更名為“圓角函式”，此名稱更形象、更貼切、更科學。圓角函式的基本概念表述如下：
1.1、角的基本概念
在平面內一條射線，繞端點從一個位置鏇轉到另一個位置，其射線端點、始邊、終邊所圍形成的圖形，即為角，如（圖一）。
角的大小，常採用角度制、弧度制進行衡量。
角度制規定：在平面圓中，將一個圓周角分成360等分，其中一等分為1度角。
弧度制規定：在平面圓中，將長度等於半徑的弧、所對應的圓心角叫1弧度。
根據圓的圓心角與圓周弧長的對應關係，可確定：
360度角=圓周弧長/半徑=2π弧度
弧度制十分科學，使角與圓弧建立了科學的聯繫，為數算理論的發展、打下了一個堅實的基礎，弧度制角與實數可建立一一對應的關係。
角的規定，射線逆時針方向鏇轉形成的角叫正角，射線順時針方向鏇轉形成的角叫負角，射線沒有作鏇轉、始邊與終邊重合形成的角叫零角。射線可逆時針無限鏇轉，也就產生無限大的正角；射線可順時針無限鏇轉，也就產生無限大的負角。
1．2、圓角函式的形成
為了搞清圓中半徑、周長、弘線、切線、割線的相互關係，數學家們進行了長期的探索，經過許多代數學家的研究、總結，提出了一套單位圓理論，使圓的平面幾何理論發生了一次飛躍。下面就關於單位圓理論作一全面解釋。
如（圖二），在平面中，作一個半徑長度等於單位長度的圓，原點O點為圓心，OA、OB為半徑，AB為弘線，EF為過A點圓的切線，EO為垂直AB弘線的割線，FO為垂直OE的割線；根據直角三角形關係，可以確定：OA=(AC^2+ OC^2 )^(1/2)。
為了理清半徑、弘線、切線、割線的關係，根據直角三角形、相似三角形的知識，可將上圖的半徑、弘線、切線、割線的關係作如下設定：
設定單位圓半徑OA等於1。
比值AC/OA叫角θ的正弘，記作sinθ，即
sinθ= AC/OA= AC，其中AC叫角θ的正弘線；
比值OC/OA叫角θ的余弘，記作cosθ，即
cosθ= OC/OA= OC，其中OC叫角θ的余弘線；
比值AE/OA叫角θ的正切，記作tanθ，即
tanθ=AC/OC= AE/OA=AE，其中AE叫角θ的正切線；
比值AF/OA叫角θ的餘切，記作cotθ，即
cotθ=OC/AC=AF/OA= AF，其中AF叫角θ的餘切線；
比值OE/OA叫角θ的正割，記作secθ，即
secθ=OA/OC=OE/OA= OE，其中OE叫角θ的正割線；
比值OF/OA叫角θ的餘割，記作cscθ，即
cscθ=OA/AC=OF/OA= OF， 其中OF叫角θ的餘割線；
以上比值，統稱為“圓角函式”本原關係，在0<θ<π/2內，平面圓中的半徑、弘線、切線、割線之間，有了嚴謹的邏輯關係，各線之間可相互求解，大大促進了圓的數算理論的發展；此“圓角函式”本原關係，在歷史上曾製作了“正弘、餘弦函式表，正切、餘切函式表”，在自然科學中發揮過重大作用。
上面的“圓角函式”的基本概念，是以單位圓和三角形等幾何圖形為基礎，利用平面幾何知識進行分析總結確立的，從純數學方面看，有效理清了平面圓中的半徑、弘線、切線、割線的邏輯關係。
但從自然科學的套用看，只有正弘、余弘、正切三個函式套用較廣，其它三角函式用途不多，且可從正弘、余弘、正切變換而得；為了使“圓角函式”得到最佳化，為此只將正弘函式、余弘函式、正切函式三個函式，確定為“圓角函式”的基本函式，以最佳化“圓角函式”的內容。
以上“圓角函式”表達式，是依據平面幾何知識進行推導產生的，為擴展“圓角函式”的適應範圍，下面建立直角坐標系單位圓概念，並推導產生了“圓角函式”的誘導公式、同角公式、和角公式、差角公式、倍角公式等“圓角函式”基本運算公式。
2．1、建立直角坐標系單位圓
如（圖三），在一個平面直角坐標系中，以原點O點為圓心，以單位長度為半徑作圓，即為平面直角坐標系單位圓；設單位圓上有一點P的坐標為(x，y)，連線點P與原點O形成線段OP，線段OP與直角坐標系X軸的非負軸所形成的角、設定為參數θ，設圓的半徑P點與O點的距離為r，在此基礎上可確定如下“圓角函式”關係：
設：sinθ=y/r，
設：cosθ=x/r，
設：tanθ=y/x，
其中r=︱OP︱=( x^2+ y^2 )^(1/2)>0；
為了簡化計算，可設定r=1，並可作半徑為“1”的單位圓圖形，如（圖三）， 也叫“圓角函式” 單位圓。
2．2、圓角函式的誘導公式
在直角坐標系的單位圓，“圓角函式”的角可以推廣到整個實數，從角度值與坐標值的關係，可以確定如下誘導公式：
（1）、sin（2kπ+θ）= sinθ=y/r；
（2）、cos（2kπ+θ）= cosθ=x/r；
（3）、tan（2kπ+θ）= tanθ=y/x；
其中k∈Z，以上表示：任何一個整數倍周角加一個角的角，終邊相同的角的圓角函式值相等。
（4）、sin（2π-θ）= -sinθ=y/r；
（5）、cos（2π-θ）= cosθ=x/r；
（6）、tan（2π-θ）= -tanθ=y/x；
以上表示：一個周角減一個角的角的圓角函式值，與減角的圓角函式值的關係。
（7）、sin（-θ）= -sinθ=y/r；
（8）、cos（-θ）= cosθ=x/r；
（9）、tan（-θ）= -tanθ=y/x；
以上表示：一個負角的圓角函式值，與它的正角的圓角函式值的關係。
（10）、sin（π-θ）= sinθ=y/r；
（11）、cos（π-θ）= -cosθ=x/r；
（12）、tan（π-θ）= -tanθ=y/x；
以上表示：一個平角減一個角的角的圓角函式值，與減角的圓角函式值的關係。
（10）、sin（π+θ）= -sinθ=y/r；
（11）、cos（π+θ）= -cosθ=x/r；
（12）、tan（π+θ）= tanθ=y/x；
以上表示：一個平角加一個角的角的圓角函式值，與加角的圓角函式值的關係。
2．3、圓角函式的相互關係式
按照“圓角函式”的函式定義和直角三形知識，sinθ=y/r、cosθ=x/r、tanθ=y/x函式之間，可建立下列同角、餘角圓角函式的基本關係式：
（13）、sinθ^2+ cosθ^2=1
（14）、tanθ= sinθ/cosθ
（15）、sin（π/2-θ）= cosθ
（16）、cos（π/2-θ）= sinθ
2．4、圓角函式的和角公式
如（圖四），利用平面直角坐標系單位圓上的點的距離關係︱AC︱=︱BD︱、幾何知識，可推導得到下列和角公式：
（17）、sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ
（18）、cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
（19）、tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
2．5、圓角函式的差角公式
用（-β）代替β代入和角公式推導，可得到下列公式：
（20）、sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ
（21）、cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
（22）、tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
2．6、圓角函式的倍角公式
用α代替β代入和角公式推導，可得到下列公式：
（23）、sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)
（24）、cos(2α)=（cosα）^2 -（sinα）^2
=2（cosα）^2 -1
=1-2（sinα）^2
（25）、tan(2α)=2tanα/[1-（tanα）^2]
以上公式是“圓角函式”的基本運算公式。
“圓角函式”的基本概念，是以單位圓和三角形等幾何圖形為基礎建立的，從純數學方面看，有效理清了平面圓中的半徑、弘線、切線、割線的邏輯關係，此圓、角、線關係的建立也大大推動了數算理論的發展。
但從“圓角函式”的自然科學的套用看，“圓角函式”的實際套用價值，不僅是圓的半徑、弘線、切線的比值關係，更重要的是圓心角與比值形成的對應關係的變化規律，此規律有著廣泛的實用價值。
為了確立“圓角函式” 圓心角與比值的對應關係的變化規律，下面利用平面直角坐標系單位圓的概念，對“圓角函式”進行一次全面分析，形成更廣泛、更實用的“圓角函式”理論。
上面己建立了平面直角坐標系單位圓，如（圖六），也確立了如下關係：
（1）、sinθ=y/r，
（2）、cosθ=x/r，
（3）、tanθ=y/x，
（4）、r=( x^2+ y^2 )^(1/2)>0；
為了簡化計算，可設定r=1，並可作半徑為“1”的單位圓圖形，如（圖六）。
以上單位圓圖形及對應比值關係，只是“圓角函式”的本原關係，只確定了圓心角θ與坐標值X與Y的對應關係而己，此單位圓圖形坐標系叫“圓角函式”本原關係坐標系。
為了得到更有價值的“圓角函式”關係，需在“圓角函式”本原關係的基礎上，確立新的“圓角函式”對應關係，其具體內容是：建立新的直角坐標系，以“圓角函式”本原關係中圓心角θ為自變數對應新的橫坐標值，以“圓角函式”本原關係中圓上動點P在本原坐標系的Y（或X）軸的數值的比值為因變數對應新的縱坐標值，以上對應關係形成的函式，其函式表達式如下：
Y= sinθ=y/r, （θ∈R）；
X= cosθ=x/r, （θ∈R）；
Z= tanθ=y/x, （θ∈R）；
將以上表達式叫 “圓角函式”的重變關係。
為了弄清“圓角函式”的重變關係的變化規律，下面依據“圓角函式”本原關係，分別分析“圓角函式”的重變關係特性。
3．1、Y= sinθ=y/r，（θ∈R）的重變特性
先作Y= sinθ=y/r的本原關係圖，如（圖七）；再建立一直角坐標系，順著本原關係坐標系的X軸的正方向，建立以角度θ變數為自變數、比值Y為因變數的復變關係坐標系，其中θ為橫坐標軸、Y縱坐標軸，O`為原點，θ軸的數值對應於本原關係圖的弧度制角θ值，Y軸的數值對應於本原關係圖中的Y值，依據此對應關係，得到如下Y= sinθ=y/r，（θ∈R）的重變函式圖，如（圖八）。
從（圖八）可以看出：Y= sinθ=y/r，（θ∈R）的重變函式圖，是一個繞θ軸上下起伏變化的波動圖，最大波動值為單位圓的半徑值，整個函式圖是一個不斷重複的波動圖，呈現周期性，波動圖的最小周期為2π。
3．2、X= cosθ=x/r, （θ∈R）的重變特性
先作X= cosθ=x/r的本原關係圖，如（圖九），Y軸的正方向向左、X軸的正方向向上；再建立一個平面直角坐標系，順著本原關係坐標系的Y軸的負方向的延長線上，建立以角度θ變數為自變數、比值X為因變數的復變關係坐標系，其中θ為橫坐標、正方向右，X為縱坐標、正方向上，O`為原點，θ軸的數值對應於本原關係圖的弧度制角θ值，X軸的數值對應於本原關係圖中的X值，依據此對應關係，得到如下X= cosθ=x/r, （θ∈R）的重變函式圖，如（圖十）。
從（圖十）可以看出：X= cosθ=x/r，（θ∈R）的重變函式圖，是一個繞θ軸上下起伏變化的波動圖，最大波動值為單位圓的半徑值，整個函式圖是一個不斷重複的波動圖，呈現周期性，波動圖的最小周期為2π。
3．3、Z= tanθ=y/x, （θ∈R）的重變特性
先作Z= tanθ=y/x的本原關係圖，如（圖十一），並作MN垂直X軸且與圓相切交於N點，延長OP交MN於M點，根據三角形相似原理，則有Z= tanθ=y/x=MN/ON=MN；再建立一直角坐標系，順著本原關係坐標系的X軸的正方向的延長線上，建立以角度θ變數為自變數、比值Z為因變數的復變關係坐標系，其中θ為橫坐標軸、正方向向右，Z為縱坐標軸、正方向上，O`為原點，θ軸的數值對應於本原關係圖的角度θ值，Z軸的數值對應於本原關係圖中的y/x值（M點的縱坐標值），依據此對應關係，可得到如下Z= tanθ=y/x, （θ∈R）的重變函式圖，如（圖十二）；從Z= tanθ=y/x的本原關係可得，Z=tanθ函式圖象是由被相互平行的直線X=π/2+kπ(k∈Z)所隔開的無窮多支曲線組成。
從（圖十二）可以看出：Z= tanθ=y/x，（θ∈R）的重變函式圖，是一個繞θ軸上下起伏變化的波動圖，tanθ可無限增大tanθ→+∞，tanθ也可無限減小tanθ→-∞，整個函式圖是一個不斷重複的波動圖，呈現周期性，波動圖的最小周期為π。
以上三個函式，統稱為 “圓角函式”的基本重變函式。
總結以上“圓角函式”重變函式的分析方法，我們可以建設一套完整的重變函式理論。
參照上述“圓角函式”分析方法，我們可以建立無數重變函式。下面以一個正方形、三角形為基本圖形，建立本原關係坐標系，再建立對應的重變函式關係。
4．1、正方形的重變函式
先建立平面直角坐標系YOX，在YOX坐標系中過（1，1）、（-1，1）、（-1、-1）、（1，-1）四點的作正方形，正方形的軌跡方程如下：
設在正方形線上有一動點P（x,y），連線動點P原點O，PO線段與非負X軸形成角θ，此時角度值θ與坐標值x或y所確定的關係，叫正方形與角度的本原函式關係，可表示為：
Y= f（y, θ），（θ∈R）,
其中有tanθ=y/x;
以上圖形坐標系叫本原函式坐標系（圖十三）。
再建立一直角坐標系YO`θ，順著本原關係坐標系的X軸的正方向，建立以角度θ變數為自變數、坐標值y為因變數的復變關係坐標系，其中θ為橫坐標軸、Y縱坐標軸，O`為原點，θ軸的數值對應於本原關係圖的P點的角度θ值，Y軸的數值對應於本原關係圖中的P點的坐標y值，依據此對應關係，得到如下重變函式:
作重變函式圖，如（圖十四）。
從（圖十四）可以看出：此正方形的重變函式圖，是一個繞θ軸上下起伏變化的梯形波動圖，最大波動值為本原圖形最大值，整個函式圖是一個不斷重複的波動圖，呈現周期性，波動圖的最小周期為2π。
4．2、三角形的重變函式
先建立平面直角坐標系YOX，在YOX坐標系中過（1，-1）、（0，1）、（-1、-1）三點作三角形，三角形的軌跡方程如下：
設在三角形線上有一動點P（x,y），連線動點P原點O，PO線段與非負X軸形成角θ，此時角度值θ與坐標值x或Y所確定的關係，叫三角形與角度的本原函式關係,可表示為：
Y= f（y, θ），（θ∈R）
其中有tanθ=y/x；
以上圖形坐標系叫本原函式坐標系（圖十五）。
再建立一直角坐標系YO`θ，順著本原關係坐標系的X軸的正方向，建立以角度θ變數為自變數、坐標值y為因變數的重變關係坐標系，其中θ為橫坐標軸、Y縱坐標軸，O`為原點，θ軸的數值對應於本原關係圖的角度θ值，Y軸的數值對應於本原關係圖中的坐標y值，依據此對應關係，得到如下重變函式:
作重變函式圖，如（圖十六）。
從（圖十六）可以看出：此三角形的重變函式圖，是一個繞θ軸上下起伏變化的異形波動圖，最大波動值為本原圖形最大值，整個函式圖是一個不斷重複的波動圖，呈現周期性，波動圖的最小周期為2π。
4．3、重變函式的基本內容
重變函式的基本內容是：
首先，建立本原關係坐標系，在直角坐標系中建立本原幾何圖形，建立幾何圖形軌跡方程；
第二，建立以本原坐標系原點為極點、本原坐標系非負坐標軸為極軸的極坐標系；
第三，建立重變函式，根據本原幾何圖形上的點坐標值，確立該點在直角坐標系與極坐標的相互函式關係式；
第四，作重變函式圖，建立新的重變函式坐標系，依據重變函式關係作重變函式圖；
第五，分析重變函式特性，依據本原幾何圖形、相應重變函式、相應重變函式圖，分析對應的重變函式特性。
以上重變函式的基本內容，也叫重變函式理論，是總結建立三角函式理論的分析方法上建立起來的，是函式理論的一種補充，是一種更高層次的全新的理論。
“重變函式”名稱是依據本函式的特點確立，其函式的獨特特點如下：
第一個特點是：依據“重變函式”要求建立的一切函式，都是一個重複變化的周期性函式；
第二個特點是：“重變函式”的建立，需要從一個坐標系確定的關係轉化為另一個坐標系的函式；
第三個特點是：“重變函式”的建立，是同時使用直角坐標系和極坐標系的軌跡上的坐標建立；
根據以上特點，確立此類函式為“重變函式”，十分貼切。
2011年11月8日定稿
