傳染病模型
醫學科學的發展已經能夠有效地預防和控制許多傳染病，但是仍然有一些傳染病暴發或流行，危害人們的健康和生命。
社會、經濟、文化、風俗習慣等因素都會影響傳染病的傳播，而最直接的因素是：傳染者的數量及其在人群中的分布、被傳染者的數量、傳播形式、傳播能力、免疫能力等。
一般把傳染病流行範圍內的人群分成三類：S類，易感者(Susceptible)，指未得病者，但缺乏免疫能力，與感染者接觸後容易受到感染；I類，感病者(Infective)，指染上傳染病的人，它可以傳播給S類成員；R類，移出者(Removal)，指被隔離或因病癒而具有免疫力的人。
問題提出
請建立傳染病模型，並分析被傳染的人數與哪些因素有關？如何預報傳染病高潮的到來?為什麼同一地區一種傳染病每次流行時，被傳染的人數大致不變？
問題分析
關鍵字:社會、經濟、文化、風俗習慣等因素
摘要：
隨著衛生設施的改善、醫療水平的提高以及人類文明的不斷發展，諸如霍亂、天花等曾經肆虐全球的傳染性疾病已經得到有效的控制。但是一些新的、不斷變異著的傳染病毒卻悄悄向人類襲來。20世紀80年代十分險惡的愛滋病毒開始肆虐全球，至今帶來極大的危害。長期以來，建立制止傳染病蔓延的手段等，一直是各國有關專家和官員關注的課題。
不同類型傳染病的傳播過程有其各自不同的特點，弄清這些特點需要相當多的病理知識，這裡不可能從醫學的角度一一分析各種傳染病的傳播，而只是按照一般的傳播模型機理建立幾種模型。
模型1
在這個最簡單的模型中，設時刻t的病人人數x(t)是連續、可微函式，
方程（1）的解為
結果表明，隨著t的增加，病人人數x(t)無限增長，這顯然是不符合實際的。
建模失敗的原因在於：在病人有效接觸的人群中，有健康人也有病人，而其中只有健康人才可以被傳染為病人，所以在改進的模型中必須區別這兩種人。
模型2SI模型
假設條件為
1.在疾病傳播期內所考察地區的總人數N不變，即不考慮生死，也不考慮遷移。人群分為易感染者（Susceptible）和已感染者（Infective）兩類（取兩個詞的第一個字母，稱之為SI模型），以下簡稱健康者和病人。時刻t這兩類人在總人數中所占比例分別記作s(t)和i(t)。
2.每個病人每天有效接觸的平均人數是常數，稱為日接觸率。當病人與健康者接觸時，使健康者受感染變為病人。
方程（5）是Logistic模型。它的解為
這時病人增加的最快，可以認為是醫院的門診量最大的一天，預示著傳染病高潮的到來，是醫療衛生部門關注的時刻
其原因是模型中沒有考慮到病人可以治癒，人群中的健康者只能變成病人，病人不會再變成健康者。
模型3SIR模型
大多數傳染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治癒後均有很強的免疫力，所以病癒的人即非健康者（易感染者），也非病人（已感染者），他們已經退出傳染系統。這種情況比較複雜，下面將詳細分析建模過程。
模型假設
1.總人數N不變。人群分為健康者、病人和病癒免疫的移出者（Removed）三類，稱SIR模型。三類人在總數N中占的比例分別記作s(t),i(t)和r(t)。
病人的日接觸率為l，日治癒率為m（與SI模型相同），傳染期接觸為s=l/m。
模型構成
由假設1顯然有
s(t)+i(t)+r(t)=1(12)
根據條件2方程（8）仍然成立。對於病癒免疫的移出者而言有
方程（14）無法求出s(t)和i(t)的解析解，我們先作數值計算。
模型4SIR模型
SIR模型是指易感染者被傳染後變為感染者，感病者可以被治癒，並會產生免疫力，變為移除者。人員流動圖為：S-I-R。
大多數傳染者如天花流感肝炎麻疹等治癒後均有很強的免疫力，所以病癒的人即非易感者，也非感病者，因此他們將被移除傳染系統，我們稱之為移除者，記為R類
假設：
1總人數為常數，且i（t）+s（t）+r（t）=n；
2單位時間內一個病人能傳染的人數與當時健康者人數成正比，比例係數為k（傳染強度）。
3單位時間內病癒免疫的人數與當時的病人人數成正比，比例係數l。稱為恢復係數。
可得方程：
模型分析：
由以上方程組的：=p/s-1p=l/k,所以i=plns/-s+n.容易看出當t無限大時i(t)=0;而當p時，i(t)單調下將趨於零；上批示，i(t)先單調上升的最高峰，然後再單調下降趨於零。所以這裡仍然出現了門檻現象：p是一個門檻。從p的意義可知，應該降低傳染率，提高回復率，即提高衛生醫療水平。
令t→∞可得：―=2*(―p)/p
所以：δps0=p+δ，當時，s≈2δ，這也就解釋了本文開頭的問題，即統一地區一種傳染病每次流行時，被傳染的人數大致不變。
模型的套用與推廣：
根據傳染病的模型建立研究進而推廣產生了傳染病動力學模型。傳染病動力學[1]是對進行理論性定量研究的一種重要方法,是根據種群生長的特性,疾病的發生及在種群內的傳播,發展規律,以及與之有關的社會等因素,建立能反映傳染病動力學特性的數學模型,通過對模型動力學性態的定性,定量分析和數值模擬,來分析疾病的發展過程,揭示流行規律,預測變化趨勢,分析疾病流行的原因和關鍵。對於2003年發生的SARS疫情,國內外學者建立了大量的動力學模型研究其傳播規律和趨勢,研究各種隔離預防措施的強度對控制流行的作用,為決策部門提供參考.有關SARS傳播動力學研究多數採用的是SIR或SEIR模型.評價措施效果或擬合實際流行數據時,往往通過改變接觸率和感染效率兩個參數的值來實現.石耀霖[2]建了SARS傳播的系統動力學模型,以越南的數據為參考,進行了MonteCarlo實驗,初步結果表明,感染率及其隨時間的變化是影響SARS傳播的最重要因素.蔡全才[3]建立了可定量評價SARS干預措施效果的傳播動力學模型,並對北京的數據進行了較好的擬合.
參考文獻：
[1]姜啟源編輔導課程（九）主講教師:鄧磊
[2]西北工業大學（數學建模）精品課程
[3]耀霖.SARS傳染擴散的動力學隨機模型[J].科學通報,2003,48(13)1373-1377
附錄:
[1]數學建模就是用數學語言描述實際現象的過程。這裡的實際現象既包涵具體的自然現象比如自由落體現象，也包涵抽象的現象比如顧客對某種商品所取的價值傾向。這裡的描述不但包括外在形態，內在機制的描述，也包括預測，試驗和解釋實際現象等內容
[2]數學建模的幾個過程:
模型準備：了解問題的實際背景，明確其實際意義，掌握對象的各種信息。用數學語言來描述問題。
模型假設：根據實際對象的特徵和建模的目的，對問題進行必要的簡化，並用精確的語言提出一些恰當的假設。
模型建立：在假設的基礎上，利用適當的數學工具來刻劃各變數之間的數學關係，建立相應的數學結構。（儘量用簡單的數學工具）
模型求解：利用獲取的數據資料，對模型的所有參數做出計算（估計）。
模型分析：對所得的結果進行數學上的分析。
模型檢驗：將模型分析結果與實際情形進行比較，以此來驗證模型的準確性、合理性和適用性。如果模型與實際較吻合，則要對計算結果給出其實際含義，並進行解釋。如果模型與實際吻合較差,則應該修改假設，再次重複建模過程。
模型套用：套用方式因問題的性質和建模的目的而異。
