內容
皮亞諾的這五條公理用非形式化的方法敘述如下:
1是自然數;
每一個確定的自然數a,都有一個確定的後繼數a',a'也是自然數(一個數的後繼數就是緊接在這個數後面的數,例如,1的後繼數是2,2的後繼數是3等等);
對於每個自然數b、c,b=c若且唯若b的後繼數=c的後繼數;
1不是任何自然數的後繼數;
任意關於自然數的命題,如果證明了它對自然數1是對的,又假定它對自然數n為真時,可以證明它對n'也真,那么,命題對所有自然數都真。(這條公理保證了數學歸納法的正確性)
1.1是自然數;
2.每一個確定的自然數a,都有一個確定的後繼數a',a'也是自然數(一個數的後繼數就是緊接在這個數後面的數,例如,1的後繼數是2,2的後繼數是3等等);
3.對於每個自然數b、c,b=c若且唯若b的後繼數=c的後繼數;
4.1不是任何自然數的後繼數;
5.任意關於自然數的命題,如果證明了它對自然數1是對的,又假定它對自然數n為真時,可以證明它對n'也真,那么,命題對所有自然數都真。(這條公理保證了數學歸納法的正確性)
若將0也視作自然數,則公理中的1要換成0。
更正式的定義如下:
一個 戴德金-皮亞諾結構為一滿足下列條件的三元組( X, x, f):
•X是一集合,x為X中一元素,f是X到自身的映射。
•x不在f的值域內。(對應上面的公理4)
•f為一單射。(對應上面的公理3)
•若A為X的子集並滿足:
•x屬於A,且
•若a屬於A,則f(a) 亦屬於A
則A=X。
正式定義可以用謂詞邏輯表示如下:
戴德金-皮亞諾結構可以描述為滿足所有以下條件的三元組 (S, f, e)
•(e ∈ S)
•(∀ a ∈ S)( f(a) ∈ S )
•(∀ b ∈ S)(∀ c ∈ S)(f(b) = f(c) → b = c)
•(∀ a ∈ S)( f(a) ≠ e )
•(∀ A ⊆ S)( ((e ∈ A) ∧ (∀ a ∈ A)(f(a) ∈ A)) → (A = S) )
分歧
關於皮亞諾公理的內容有不同版本。其中若將零視為自然數,第一個公理分別被闡述為:
•1是一個自然數。
•0是一個數字。
•0是一個自然數。
•存在一個自然數0。和“0是一個自然數”等價。
參見
•自然數