上同調維數

上同調維數是群的不變數，量度群的表示的同調複雜度。上同調維數在幾何群論、拓撲學、代數數論中有重要套用。

群的上同調維數

就如大多數的同調及上同調不變數，上同調維數涉及選取“係數環”R，最常見的特例是整數環R = Z。設G是離散群，R是非零有單位元的環，RG是其群環。群G的上同調維數小於或等於n，記為cdR(G) ≤ n，若平凡RG-模R有一個長為n的投射分解，也就是有投射RG-模P0, …, Pn，及RG-模同態dk: Pk→Pk? 1(k= 1, …, n)和d0: P0→R，使得對k = 1, …, n，dk的像正是dk? 1的核，且dn有平凡核。
等價地，群G的上同調維數小於或等於n，若對任何RG-模M，G以M為係數的上同調於階k > n時消失，即H(G,M) = 0。
若n是最小的整數使得群G的上同調維數小於或等於n，則G的（係數R的）上同調維數等於n，記為n = cdR(G)。