概念
一致同胚(uniform homeomorphism)是一致連續意義下的同胚映射。設X，Y都是巴拿赫空間，若存在X到Y上的一一對應的映射f，使f和f都是一致連續的，則巴拿赫空間X與Y稱為一致同胚的。若存在X到Y上的一對一的映射f，適合條件：存在常數C≥1，使對任意x，y∈X，都有：
一致同胚則X與Y稱為李普希茨同胚的。如果兩個巴拿赫空間是李普希茨同胚的，那么它們必是一致同胚的。
關於巴拿赫空間理論有下述基本問題：兩個一致同胚(或李普希茨同胚)的巴拿赫空間是否一定是線性同胚的?1978年，阿哈羅尼(Aharoni，I.)和林登史特勞斯(Lindenstrauss，J.)否定地回答了這個問題。
同胚
同胚是拓撲空間之間的一種變換。若f是拓撲空間(X，T)到(Y，U)的單滿映射，並且f與f都是連續的，則稱f為同胚映射或拓撲變換。存在同胚映射的兩個拓撲空間稱為同胚的或拓撲等價的。同胚關係是等價關係。抽象空間的同胚是弗雷歇(Fréchet，M.-R.)於1910年開始研究的。在狹窄的意義下同胚的概念早已被龐加萊(Poincaré，(J.-)H.)引入。
設E與F為兩個拓撲空間。稱從E到F上的雙射為從E到F上的同胚，如果這一映射能建立一個從E之全體開集的集合到F之全體開集的集合上的雙射。
為使從E到F上的雙射是同胚，其充分必要條件是： 這個雙射是雙連續的。
從一緊空間到另一緊空間上的任一連續雙射是同胚。
映射
映射亦稱函式。數學的基本概念之一。也是一種特殊的關係。設G是從X到Y的關係，G的定義域D(G)為X，且對任何x∈X都有惟一的y∈Y滿足G(x，y)，則稱G為從X到Y的映射。即關係G為映射時，應滿足下列兩個條件：
1.(x∈X)(y∈Y)(xGy).
2.(x∈X)(y∈Y)(z∈Y)((xGy∧xGz)→y=z).這個被x∈X所惟一確定的y∈Y，通常表示為y=f(x)(x∈X).f(x)滿足：
1) f(x)∈Y.
2) G(x，f(x))成立(x∈X).
3)z∈Y，G(x，z)→z=f(x).
關係G常使用另一些記號：f：X→Y或XY.f與G的關係是y=f(x)(x∈X)，若且唯若G(x，y)成立。可取變域X中的不同元素為值的變元稱為自變元或自變數。同樣可取變域Y中的不同元素為值的變元稱為因變元或因變數。始集X稱為映射f的定義域.記為D(f)或dom(f)。終集Y稱為映射的陪域，記為C(f)或codom(f)。Y中與X中的元素有關係G的元素的組合{y|x(x∈X∧y=f(x)∈Y)}稱為映射的值域，記為R(f)或ran(f).當y=f(x)時，y稱為x的象，而x稱為y的原象。y的所有原象所成之集用f(y)表示。對於AX，所有A中元素的象的集合{y|x(x∈A∧y=f(x)∈Y)}或{f(x)|x∈A}稱為A的象.記為f(A).對於BY，所有B中元素的原象的集合{x|x∈X∧y(y∈B∧y=f(x))}稱為B的原象。記為f(B)。顯然：f(A)=f(x)，f(B)=f(y)。
一致連續
一致連續亦稱均勻連續。反映函式均勻變化的性質。設f是從集合ER到R的實函式，若對任意ε>0，存在δ>0，使：
sup{|f(x)-f(x)|x，x∈E，|x-x|<δ}<ε，
或對x，x∈E，|x-x|<δ，有|f(x)-f(x)|<ε，則f稱為在E上一致連續。函式f∶E(R)→R一致連續的定義可完全類似給出，只要把|·|理解為R或R中的範數|·|。相對於一致連續，把f在E上連續稱為逐點連續.一致連續函式必逐點連續，反之不一定。但在R的有界閉集上連續的函式必一致連續。若f定義在開區間(a，b)上，則f一致連續若且唯若f連續，且f(a+)與f(b-)存在且有限。例如，對函式g(x)=1/x，有g(0+)=+∞，故g不在(0，+∞)上一致連續。一致連續函式把柯西列映為柯西列，即若f一致連續，{x}是柯西列，則{f(x)}也是柯西列；反之，定義在有界集上，把柯西列映為柯西列的函式必一致連續。一致連續函式的線性組合一致連續.兩個一致連續函式的複合函式一致連續。一致連續性是由海涅(Heine，H.E.)於1870年引入的。
巴拿赫空間
完備的賦范線性空間被稱為巴拿赫空間，是泛函分析研究的基本內容之一。
20世紀以來，當人們研究了許多具體的無限維空間及其上面相應的收斂性以後，自然而然地轉向抽象形態的線性空間以及按範數收斂的概念。德國數學家希爾伯特、法國數學家弗雷歇和匈牙利數學家裡斯在1904—1918年間所引入的函式空間是建立巴拿赫空間理論的基礎。在這些空間裡，強收斂、弱收斂、緊性、線性泛函、線性運算元等基本概念已經得到初步研究。
1922—1923年，波蘭數學家巴拿赫、奧地利數學家哈恩和美國數學家N.維納等分別獨立地引入了賦范線性空間的概念，並以巴拿赫的姓氏來命名。1922年，巴拿赫開始根據他所引入的公理來系統研究已有的函式空間，得到深刻的結果;同一年，哈恩從當時分析數學的許多成果中提煉出共鳴定理;1922—1923年巴拿赫得到壓縮映射的不動點定理、開映射定理。1927年和1929年哈恩和巴拿赫先後證明了完備賦范空間上泛函延拓定理，引入了賦范線性空間的對偶空間(當時稱之為極空間)，這個定理的推廣形式後來在局部凸拓撲線性空間理論中起了重要作用。1931年，巴拿赫寫成《線性運算元理論》。至此，完備賦范線性空間理論的獨立體系已基本形成，並且在不到十年的時間內便發展成本身相當完整而又有多方面套用的理論。
