《古今數學思想(第四冊)》

古今數學思想（第四冊） 內容簡介

本書是《古今數學思想》叢書中第四冊，本書論述了從古代一直到20世紀頭幾十年中的重大數學創造和發展，目的是介紹中心思想，特別著重於那些在數學歷史的主要時期中逐漸冒出來並成為最突出的、並且對於促進和形成爾後的數學活動有影響的主流工作。本書所極度關心的還有：對數學本身的看法，不同時期中這種看法的改變，以及數學家對於他們自己的成就的理解。

古今數學思想（第四冊） 本書目錄

第40章 分析中注入嚴密性
第41章 實數和超限數的基礎
第42章 幾何基礎
第43章 19世紀的數學
第44章 實變函式論
第45章 積分方程
第46章 泛函分析
第47章 發散級數
第48章 張量分析和微分幾何
第49章 抽象代數的出現
第50章 拓撲的開始
第51章 數學基礎
雜誌名稱縮寫一覽表
人名索引
名詞索引

古今數學思想（第四冊） 文章節選

大約在1800年前後，數學家們開始關心分析的龐大分支在概念和證明中的不嚴密性。函式概念本身就是不清楚的；使用級數而不考慮它們的收斂和發散已經產生了悖論和不同意見的爭論；關於用三角級數來表示函式的論戰進一步引起了混亂；當然，導數和積分的基本概念還從來沒有恰當地定義過。所有這些困難最終導致人們對分析的邏輯狀況的不滿。 Abel在1826年給Christoffer Hansteen教授的一封信中抱怨說：“人們在分析中確實發現了驚人的含糊不清之處。這樣一個完全沒有計畫和體系的分析，竟有那么多人能研究過它，真是奇怪。最壞的是，從來沒有嚴格地對待過分析。在高等分析中只有很少幾個定理是用邏輯上站得住腳的方式證明的。人們到處發現這種從特殊到一般的不可靠的推理方法，而非常奇怪的是這種方法只導致了極少幾個所謂的悖論。” 一些數學家決心從這種混沌中整理出一個秩序來。常被人們稱為批判運動的領導者們決心把分析只在算術概念的基礎上重新建立起來。這個運動的開端正好是非歐幾何的創立時期。一個完全不同的集體，除了Gauss外捲入了這後一活動，因而要追溯這個活動和把分析奠定在算術基礎上的決心之間的任何直接聯繫是困難的。這種決心的出現大概是由於企圖把分析奠基於幾何之上的希望――17世紀的許多數學家斷言這種希望是能夠實現的――但因在18世紀分析發展中日益增長的複雜性而導致破滅。不過Gauss早在1799年就已表示了他對歐氏幾何真理性的懷疑，而且在1817年他就認定真理只存在於算術之中。此外，甚至在Gauss和其他作者關於非歐幾何的早期著作中就注意到歐氏幾何發展中的缺陷。因此很可能就是這兩個因素造成了對幾何的不信任而決心把分析奠基礎在算術概念之上。這無疑是批判運動的領導者們要著手去做的事。