概念
物理學中常常要研究一個物理量在空間或時間中分布的密度,例如質量密度、電荷密度、每單位時間傳遞的動量(即力)等等,但是物理學中又常用到質點、點電荷、瞬時力等抽象模型,他們不是連續分布於空間或時間中,而是集中在空間中的某一點或者時間中的某一瞬時,那么它們的密度應該如何表示呢?
為了在數學上理想地表示出這種密度分布,引入了δ函式的概念。用數學表示為:
![δ-函式](/img/7/717/nBnauM3X4QzN5YjM1ADN3UzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLwQzLzYzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
![δ-函式](/img/4/772/nBnauM3XyEjNzMTN3kTN2UzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL5UzLwAzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
上述表達式不規定δ函式在0點的取值,是因為這個值無法嚴謹地表述出來,不能籠統的定義為正無窮,並且函式取值的“大小”是由第二個積分式決定的,因此只需限定取值為零的區域即可。如果函式不在0點取非零值,而在其他地方,可定義:
![δ-函式](/img/b/ee7/nBnauM3X0ATMyIjNwAzN2UzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLwczL1MzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
![δ-函式](/img/d/385/nBnauM3XyMDM1ETNyITMyMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLyEzLyMzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
多維δ函式
定義
在多維空間中的δ函式定義如下:
![δ-函式](/img/9/f56/nBnauM3XzMTOzMDN2QDO2UzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0gzL4QzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
![δ-函式](/img/4/771/nBnauM3X3AzN0kjN1YzNxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL2czL3QzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
例如在三維空間中,三維δ函式可表示為三個一維δ函式乘積表示,在直角坐標系中,
![δ-函式](/img/4/b88/nBnauM3X1YjN1QjM0AzNwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLwczLwIzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
在極坐標系中,
![δ-函式](/img/3/88f/nBnauM3X2AzMyEjN2UzMxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL1MzLwUzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
在球坐標系中,
![δ-函式](/img/0/d73/nBnauM3XwQzN2cjN4MzNwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzczL0QzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
性質
多維的δ函式主要性質:
![δ-函式](/img/d/83f/nBnauM3X0UTNwYDO0cTN2UzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL3UzLwAzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![δ-函式](/img/d/c3d/nBnauM3X4QDM3QjNzADN3UzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLwQzL4YzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
位矢的微分
δ函式可以表示如下:
![δ-函式](/img/1/c93/nBnauM3X0gDN2MzNygzNxMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL4czL0EzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
靜電場
密度表示
點電荷等抽象模型的密度分布可以表示為:
![δ-函式](/img/8/e50/nBnauM3X4YTO3QjMxgjNwMzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL4YzLygzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLyE2LvoDc0RHa.jpg)
一組點電荷的電荷密度可以表示為:
![δ-函式](/img/3/52c/nBnauM3X0MjN4gjMyUjN2UzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL1YzLwUzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
不僅可以用δ函式表示點電荷的密度分布,還可以表示圓柱、球殼上的電荷密度。例如,在電荷q均勻分布在半徑為a的球上,在球坐標系中其電荷密度為:
![δ-函式](/img/c/c08/nBnauM3X0cDN1ATM3EjN2UzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLxYzLwIzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLzE2LvoDc0RHa.jpg)
![δ-函式](/img/a/be5/nBnauM3XwIDNxAjMxMTMzEDN0UTMyITNykTO0EDMwAjMwUzLzEzLyIzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmL0E2LvoDc0RHa.jpg)
在半徑為b的圓柱上均勻分布的電荷單位長度的電荷為,在柱坐標系中其電荷密度為:
![δ-函式](/img/6/c3e/nBnauM3X3MTN4cjM3QzM3UzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL0MzLxczLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
電場的方程
電學的高斯定理微分形式為:
![δ-函式](/img/3/59f/nBnauM3X2YzN4QjMzczN2UzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzL3czL0AzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLwE2LvoDc0RHa.jpg)
電場強度為:
![δ-函式](/img/d/459/nBnauM3X1ATO1YjN4MzM3UzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzMzLzMzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
因此位矢的微分可以表示成:
![δ-函式](/img/7/f31/nBnauM3X2ATN2ITOyMjN2UzM1UTM1QDN5MjM5ADMwAjMwUzLzYzL3EzLt92YucmbvRWdo5Cd0FmLxE2LvoDc0RHa.jpg)
也可代入電荷密度的表達式直接得到。